Sistema ternario bilanciato

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Il ternario bilanciato è un sistema numerico posizionale non standard. È un sistema in base 3, che, a differenza del sistema ternario standard, usa come cifre -1, 0 e 1 anziché 0, 1 e 2. Le potenze di 3 usate per rappresentare il numero possono avere quindi coefficiente positivo, nullo o negativo.

La seguente tabella elenca i primi 12 numeri scritti nel sistema decimale, ternario e ternario bilanciato (viene usato il simbolo 1 per rappresentare la cifra -1).

Decimale	Ternario	Ternario bilanciato
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1{\bar {1}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 10}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 11}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 1{\bar {1}{\bar {1}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 1{\bar {1}0}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 21}$	${\displaystyle 1{\bar {1}1}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 22}$	${\displaystyle 10{\bar {1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 100}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 101}$	${\displaystyle 101}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 102}$	${\displaystyle 11{\bar {1}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 110}$	${\displaystyle 110}$
${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 111}$	${\displaystyle 111}$
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle 112}$	${\displaystyle 1{\bar {1}{\bar {1}{\bar {1}$

La tavola di addizione è molto semplice, tenendo solo conto che si può avere un riporto negativo

${\displaystyle {\begin{array}{cc}1&+\\0&=\\\hline 1&\\\end{array}\ {\begin{array}{cc}1&+\\1&=\\\hline 1{\bar {1}&\\\end{array}\ {\begin{array}{cc}1&+\\{\bar {1}&=\\\hline 0&\\\end{array}\ {\begin{array}{cc}{\bar {1}&+\\{\bar {1}&=\\\hline {\bar {1}1&\\\end{array}$

La sottrazione si effettua invertendo le cifre del numero da sottrarre e sommando.

Anche la moltiplicazione si effettua in modo piuttosto semplice, riducendosi a una serie di cambi di segno e addizioni, come nel seguente esempio, nel quale viene eseguita l'operazione 23 × 17 = 391:

${\displaystyle {\begin{aligned}&10{\bar {1}{\bar {1}\ \times \\&1{\bar {1}0{\bar {1}\ =\\\hline &{\bar {1}011\\0&000\\{\bar {1}0&11\\10{\bar {1}&{\bar {1}\\\hline 1{\bar {1}{\bar {1}&{\bar {1}111\end{aligned}$

Il sistema ternario bilanciato non ha bisogno di un segno meno per rappresentare i numeri negativi. Per cambiare il segno di un numero basta cambiare il segno delle sue cifre.

${\displaystyle 1{\bar {1}1{\bar {1}=20}$

${\displaystyle {\bar {1}1{\bar {1}1=-20}$

La possibilità di rappresentare anche i numeri negativi ha un costo sulle cifre da usare rispetto al sistema ternario standard, infatti, per rappresentare un generico numero n nel sistema ternario bilanciato occorrono ${\displaystyle int[log_{3}({2\left\vert n\right\vert })]}$ cifre, superiori o tutt'al più uguali alle ${\displaystyle int[log_{3}({\left\vert n\right\vert })]+1}$ cifre nel sistema ternario standard.

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