スティルチェス＝ウィガート多項式

「スティルチェス多項式」とは異なります。

一般化されたスティルチェス＝ウィガート多項式については「q-ラゲール多項式」をご覧ください。

数学においてスティルチェス＝ウィガート多項式（スティルチェス＝ウィガートたこうしき、英: Stieltjes–Wigert polynomials）とは、トーマス・スティルチェスとカール・セヴェリン・ウィガート（英語版）の名にちなむ、基本階層構造（英語版）における${\displaystyle q}$-超幾何直交多項式のある族のことを言う。その重み函数は、正の実直線 x > 0 上の

${\displaystyle w(x)={\frac {k}{\sqrt {\pi }x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}$

で与えられる^[1]。

スティルチェス＝ウィガート多項式に対するモーメント問題（英語版）は不定である。すなわち、同様の直交多項式の族を与える多くの測度が存在する（クレインの条件を参照）。

Koekoek et al. (2010) の 14.27 節では、この多項式の持つ性質の詳細なリストが与えられている。

この多項式はq超幾何級数およびqポッホハマー記号を用いて

${\displaystyle \displaystyle S_{n}(x;q)={\frac {1}{(q;q)_{n}{}_{1}\phi _{1}(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x)}$

で与えられる^[2]。ここで q = e^−1⁄(2k2) である。

この多項式に対するモーメント問題は不定であるため、それらが直交となるような [0,∞] 上の重み函数には異なる多くのものが存在する。そのような重み函数の二つの例として

${\displaystyle {\frac {1}{(-x,-qx^{-1};q)_{\infty }$

および

${\displaystyle {\frac {k}{\sqrt {\pi }x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}$

が挙げられる。

• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2nd ed.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521833574, ISBN 978-0-521-83357-8, MR2128719 
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, MR2656096 
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), “Ch. 18, Orthogonal polynomials”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/ 
• Szegő, Gábor (1975), Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications 23, American Mathematical Society, Fourth Edition, ISBN 978-0-8218-1023-1, MR0372517 
• Stieltjes, T. -J. (1894), “Recherches sur les fractions continues” (French), Ann. Fac. Sci. Toulouse VIII: 1–122, JFM 25.0326.01, MR1344720, http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AFST_1995_6_4_1_J1_0 
• Wigert, S. (1923), “Sur les polynomes orthogonaux et l'approximation des fonctions continues” (French), Arkiv för matematik, astronomi och fysik 17: 1–15, JFM 49.0296.01