レムニスケート周率
レムニスケート周率(レムニスケートしゅうりつ、英: lemniscate constant)とは、円周率のレムニスケートにおける対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にカール・フリードリヒ・ガウスが深く研究したとされる。
数学的な記述
通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体 ϖ(オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形)で表され、実際の数値は、
- ϖ = 2.622057554292119810464839589891...(オンライン整数列大辞典の数列 A062539)
(小数点以下30桁まで)である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、(円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に)レムニスケート周率の倍の値となる。
レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。
すなわち、次の式により求めることができる。
![{\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{4}={\sqrt {2}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}\right)^{2}{2^{3/2}\pi ^{1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6c0ab73f207e4161f76b3722865b92eb31cf10)
ただし、ここで r は、レムニスケートの極座標表示
![{\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c277a447f3bb19eb8c5ceb4bc448ab103f477e)
の r である。
なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。
![{\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a03e395cb9028fa5da2370448bbbcaa32c1b37b)
外部リンク