基底関数
基底関数(きていかんすう、英: basis function)とは、関数空間の基底ベクトルのことである。すなわち対象となる空間に属する全ての元(関数)は、この基底関数の線型結合で表される。
線形基底展開(英: linear basis expansion)とは、
を基底関数として、下記の形で展開する事。
![{\displaystyle f(X)=\sum _{m}\beta _{m}h_{m}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b00f5224d595be65b451265089f02ecbda3243)
例えば、実数値関数のフーリエ変換(コサイン変換・サイン変換)ではコサイン関数もしくはサイン関数、ウェーブレット変換ではウェーブレット関数とスケーリング関数、スプライン曲線では区分的多項式が基底関数として用いられる。
内積と正規直交基底
基底関数同士の内積を定義する事で、正規直交系(正規直交基底)かどうか規定できる。異なる基底関数の内積が常に 0 であれば直交とよび、同じ基底関数の内積が常に 1 なら正規と呼ぶ。
例えば、ウェーブレット変換では以下のように L2(R) における内積を定義する。
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\mathbf {R} }f(t){\overline {g(t)}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e872e51a5e87e25c8dfad39e4682ec1e06942287)
関連項目