法線ベクトル

法線ベクトル（ほうせんベクトル、英: normal vector）とは、2次元平面においては、曲線上の点における接線に垂直な平面ベクトル、3次元空間においては、曲面上の点における接平面に垂直な空間ベクトルのことである。法線（ほうせん、英: normal）とは、接線や接平面に垂直な直線のことである。

曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも単位ベクトル（ノルムが 1）であるものを単位法（線）ベクトル（英: normal unit vector）というが、それでも2つあることに注意する必要がある。

曲面の法線ベクトルは、2つの線形独立な接ベクトルの外積として求めることができる。

右図で示した右手系の正規直交座標系において、直方体の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトル N は、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}={\overrightarrow {\text{AB}\times {\overrightarrow {\text{AD}$

となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。ノルムは線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。

線分 AB と線分 DC が x軸に平行で、線分 AD と線分 BC が z軸に平行な場合、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}=-|{\overrightarrow {\text{AB}|{\boldsymbol {i}\times |{\overrightarrow {\text{AD}|{\boldsymbol {k}=|{\overrightarrow {\text{AB}||{\overrightarrow {\text{AD}|{\boldsymbol {j}$

となる。ここで j は y軸方向の単位ベクトルである。

平面において、

• 曲線 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ 上の点 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ における法線ベクトル：${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)}$
  • 特に、直線 ${\displaystyle ax+by+c=0}$ 上の点 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ における法線ベクトル：${\displaystyle (a,b)}$
• 曲線 ${\displaystyle x=f(t),y=g(t)}$（t は媒介変数）の ${\displaystyle t=t_{0}$ における点の法線ベクトル：${\displaystyle \pm (y'(t_{0}),-x'(t_{0}))}$

接点と法線ベクトルから、元の接空間を表すことができる。

• 接点 ${\displaystyle {\text{A}({\boldsymbol {a})}$、法線ベクトル ${\displaystyle {\boldsymbol {n}$ の接空間の方程式は ${\displaystyle {\boldsymbol {n}\cdot ({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a})=0}$

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