អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍​ដឺក្រេ​ទី​បួន​។

ប្រសិនបើអ្នកអោយ ${\displaystyle f(x)=0\,}$ នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$

ដែល

${\displaystyle a\neq 0\,}$

(ប្រសិនបើ a = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)

យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​បទតម្លៃ​កណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant)

${\displaystyle \Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\,}$

ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា

• បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
• បើ Δ < 0 នោះសមីការមានឫស១ជាចំនួនពិត និង មានឫស២ផ្សេងទៀតជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់។
• បើ Δ = 0 នោះសមីការមានឫសដូចគ្នាយ៉ាងហោចណាស់២។

ចំលើទាំងនេះអាចត្រូវគេរកតាម វិធីសាស្រ្ត Scipione del Ferro និង Tartaglia ដែលបោះពុម្ភនៅឆ្នាំ១៥៤៥។

យើងដាក់សមីការស្តង់ដាជារាង :${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\qquad (1)}$

ជំនួស${\displaystyle x=t-a/3}$​ ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២​ យើងបាន

${\displaystyle t^{3}+pt+q=0\,,\,}$ ${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}{3}\,}$ ហើយ ${\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}\qquad (2)}$

តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស ${\displaystyle t=y-{p \over 3y}$ ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង ${\displaystyle y^{3}$ រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ ${\displaystyle y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0}$ ។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។

ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន ${\displaystyle u\,}$ និង ${\displaystyle v\,}$ ដែល

${\displaystyle -u^{3}-v^{3}=q\,}$ ហើយ ${\displaystyle -uv={\frac {p}{3}\quad (3)\,}$

ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ

${\displaystyle t=v+u\,}$

ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ ${\displaystyle t\,}$ ក្នុង (2)​ ។

${\displaystyle (v+u)^{3}-3uv(v+u)+(-u^{3}-v^{3})=0\ }$

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ v

${\displaystyle v=-{\frac {p}{3u}$

ដោយជំនួស v ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3)

${\displaystyle -u^{3}+{\frac {p^{3}{27u^{3}=q}$

ដោយប្តូរទីតាំងនៃ q ហើយគុណនឹង 27u³ នោះ

${\displaystyle 27u^{6}+27qu^{3}-p^{3}=0\,}$

នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ u³។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា

${\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}$

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}\quad (4)}$

ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា u ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ(${\displaystyle \pm }$) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង ${\displaystyle {\tfrac {-1}{2}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}{2}$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ p = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ u មិនស្មើសូន្យ ឧទាហរណ៍​ ${\displaystyle u=-{\sqrt[{3}]{q}$ ។ ទី២ បើ p = q = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ x = −a/3 ។

សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣​

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\ }$

ចំលើយ ចំពោះx ផ្តល់អោយ

${\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}+u-{a \over 3}$

ដែល

${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}{3}$

${\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}$

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}$

បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល  :${\displaystyle D<0,D=\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}$

ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។

តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D < 0 ហើយគ្រប់ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ បើយើងប្រើឫសគូប៣ នៃ u និង v​ ខាងលើ ទោះបីជា ចំនួនពិត ឬ កុំផ្លិច។ វាជាប្រវត្តិដ៏មានសារៈសំខាន់ព្រោះការរកចំលើយតាមរបៀបនេះ​ ធ្វើអោយគេទទួលយកចំនួនកុំផ្លិច ។ ប៉ុន្តែជាសំណាងអាក្រក់ អ្វីៗគឺសាំញ៉ាំបន្តិច។

យើងដឹងថា ${\displaystyle \!\!~\!\!{\text{ }\!\!~\!\!{\text{ }\!\!~\!\!{\text{ }\!\!~\!\!{\text{ }u^{3}=-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}~~~~~~~\,}$ ឬ ${\displaystyle -{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}$

តែដោយ ${\displaystyle u\,}$ និង ${\displaystyle v\,}$ ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ ${\displaystyle \!\!~\!\!{\text{ }\!\!~\!\!{\text{ }\!\!~\!\!{\text{ }\!\!~\!\!{\text{ }-u^{3}-v^{3}=q~~~~~~~~}$ ហើយ ${\displaystyle -uv={\frac {p}{3}$

នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ

${\displaystyle {\text{ }~~~~~~u^{3}=-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}~~~~then~~~~v^{3}=-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}$

ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។

ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន

${\displaystyle u=\left\{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\&\left(-{\frac {1}{2}+i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\&\left(-{\frac {1}{2}-i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\\end{aligned}\right.~~~and~~~v=\left\{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\&\left(-{\frac {1}{2}+i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\&\left(-{\frac {1}{2}-i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\\end{aligned}\right.}$

ចំណាំ ${\displaystyle ~t=u+v~}$ យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ${\displaystyle -uv={\frac {p}{3}$ គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ

${\displaystyle t=\left\{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\&\left(-{\frac {1}{2}+i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}+\left(-{\frac {1}{2}-i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\&\left(-{\frac {1}{2}-i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}+\left(-{\frac {1}{2}+i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}\\\end{aligned}\right.}$

ហើយដោយ

${\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}$

តំលៃដែលអាច៣នៃ x គឺ

${\displaystyle x=\left\{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}-{\frac {a}{3}\\&\left(-{\frac {1}{2}+i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}+\left(-{\frac {1}{2}-i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}-{\frac {a}{3}\\&\left(-{\frac {1}{2}-i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}+\left(-{\frac {1}{2}+i{\frac {\sqrt {3}{2}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}-{\frac {a}{3}\\\end{aligned}\right.}$

ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ ${\displaystyle D={\frac {q^{2}{4}+{\frac {p^{3}{27}$ វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ

បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។

បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។

បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ​ ឬ ឫសឌុប)។