អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

ក្នុងគណិតវិទ្យា ការ​ប្តូរ​អថេរ​គឺ​ជាវិធីសាស្រ្តជំនួស​អញ្ញត្តិ​ឬ​អនុគមន៍មួយដោយអញ្ញតិ្តមួយ ឬ អនុគមន៍មួយផ្សេងទៀត។ វា​ជា​វិធីសាស្រ្ត​ដ៏​ចំបង​ក្នុង​គណនា​អាំងតេក្រាល។

នេះជាក្បួនគណនាអាំងតេក្រាលដោយ​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់ (ឬហៅថាក្បួនឆេន, Chain Rule) ។ គេមានពីរអនុគមន៍ដេរីវេ ${\displaystyle \ f,g}$ និងតាមនិយមន័យអាំងតេក្រាល

${\displaystyle \int f'(x)\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} f(x)=f(x)+C}$

គេបាន

${\displaystyle \int \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} g(x)}f(g(x))\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}g(x)\right)\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} [f\circ g(x)]=f\circ g(x)+C}$

គណនាអាំងតេក្រាល

${\displaystyle \int _{-{\sqrt {\pi }^{2{\sqrt {\pi }2x\cos(x^{2})\mathrm {d} x}$

ដោយការប្តូរអថេរ ${\displaystyle \ u=x^{2}$ ហេតុនេះ ${\displaystyle \ \mathrm {d} u=2x\mathrm {d} x}$ ។ ${\displaystyle \ x}$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ ${\displaystyle -{\sqrt {\pi }$ និង ${\displaystyle 2{\sqrt {\pi }$ គេបាន ${\displaystyle \ u}$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ ${\displaystyle \ \pi }$ និង ${\displaystyle \ 4\pi }$ ។

${\displaystyle \int _{-{\sqrt {\pi }^{2{\sqrt {\pi }2x\cos(x^{2})\mathrm {d} x=\int _{\pi }^{4\pi }\cos(u)\mathrm {d} u=[\sin(u)]_{\pi }^{4\pi }=\sin(4\pi )-\sin {\pi }=0-0=0}$

គេមាន ${\displaystyle \ f}$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និង ${\displaystyle \ \varphi }$ ជាអនុគមន៍នៃថ្នាក់ ${\displaystyle \ {\mathcal {C}^{1}$ (អាចនិយាមបានថាជាអនុគមន៍មានដេរីវេ និង ដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍ជាប់) នៅលើចន្លោះ${\displaystyle \ [a,b]}$ នោះគេបានរូបភាពវាជាប់នៅលើដែនកំនត់នៃ ${\displaystyle \ f}$ ។ ហេតុនេះ

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t}$

គេមាន ${\displaystyle \ f}$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានព្រីមីទីវ ${\displaystyle \ F}$ លើដែនកំនត់ ${\displaystyle \ D}$ ។ អនុគមន៍ ${\displaystyle \ F\circ \varphi }$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេ​ ដែលជាបណ្តាក់នៃពីរអនុគមន៍ គេបាន

${\displaystyle (F\circ \varphi )'=(f\circ \varphi )\times \varphi '}$

ដែល

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}((f\circ \varphi )\times \varphi ')(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\left[F\circ \varphi \right]_{a}^{b}$

${\displaystyle =F(\varphi (b))-F(\varphi (a))}$

${\displaystyle =\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

ដើម្បីគណនា

${\displaystyle \int {f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+\mathrm {d} }\right)\mathrm {\mathrm {d} } x}$

ដែល ${\displaystyle \ f}$ ជាអនុគមន៍អសនិទាននៃពីរអថេរ។ n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ និង a, b, c, d ជាចំនួនពិតគេអោយ។ គេតាង

${\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+\mathrm {d} }$

គេមាន f ជាអនុគមន៍ច្រើនអថេរ ម្យ៉ាងវិញទៀតការប្តូរអថេរនៃដែនកំនត់អាំងតេក្រាល គេប្រើយ៉ាកូបីនៃបំលែងឡាប្លាសនៃ ${\displaystyle \ \varphi '}$ ។ យ៉ាកូបី​គឺជា​ដេទែមីណង់​នៃ​ម៉ាទ្រីសយ៉ាកូបី​។ គេអោយរូបមន្តអិចផ្លីស៊ីត (explicit) នៃការប្តូរអថេរ គេបាន

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{T}f{\bigl (}\phi (u,v),\Psi (u,v){\bigr )}\left|{\frac {\partial (\phi ,\Psi )}{\partial (u,v)}(u,v)\right|~\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$