អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

អាំងតេក្រាល (​បារាំង: Intégral; អង់គ្លេស: Integral) ហៅ​ជា អនុកល ^[១] ក៏​បាន គឺ​ជាគន្លឹះ​ដ៏​សំខាន់​នៅ​ក្នុង​គណិត​វិទ្យា ។ បើ​និយាយ​ឱ្យ​ស្រួល​ស្តាប់​ទៅ អាំងតេក្រាល គឺ​ជាអនុគមន៍​មុន​ពេល​ធ្វើ​ដេរីវេ ។

C​ ជាចំនួនពិត

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់សំខាន់ៗ

${\displaystyle (1).\int e^{x}\,dx\,\!=e^{x}+C}$         ${\displaystyle (2).\int a^{x}\,dx\,\!={\frac {1}{\ lna}~a^{x}+C}$         ${\displaystyle (3).\int {\frac {1}{\ x}~dx=ln|x|+C}$         ${\displaystyle (4).\int x^{p}\,dx\,\!={\frac {1}{\ p+1}x^{p+1}+C\quad (}$ដែល​ p​ ជាចំនួនពិត)         ${\displaystyle (5).\int {\frac {1}{\ {x^{2}-a^{2}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2a}ln|{\frac {x^{2}-a^{2}{x^{2}+a^{2}|+C\quad (a\neq 0)}$         ${\displaystyle (6).\int {\frac {1}{\ {x^{2}+a^{2}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {a}tan^{-1}{\frac {x}{a}+C\quad (a\neq 0)}$         ${\displaystyle (7).\int sinx\,dx\,\!=-cosx+C}$         ${\displaystyle (8).\int cosx\,dx\,\!=sinx+C}$         ${\displaystyle (9).\int {\frac {1}{\ cos^{2}x}\,dx\,\!=tanx+C}$         ${\displaystyle (10).\int {\frac {1}{\ sin^{2}x}\,dx\,\!=-cotx+C}$         ${\displaystyle (11).\int tanx\,dx\,\!=-ln|cosx|+C}$         ${\displaystyle (12).\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx\,\!=sin^{-1}{\frac {x}{a}+C\quad (a>0)}$         ${\displaystyle (13).\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-A}\,dx\,\!=ln|x+{\sqrt {x^{2}+A}|+C\quad (A\neq 0)}$         ${\displaystyle (14).\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2}(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}+a^{2}sin^{-1}{\frac {x}{a})+C\quad (a>0)}$         ${\displaystyle (15).\int {\sqrt {x^{2}+A}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2}(x{\sqrt {x^{2}+A}+Aln|x+{\sqrt {x^{2}+A}|)+C}$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
${\displaystyle (1)\int xsinx\,dx\,\!}$

• របៀបគិត: តាង ${\displaystyle \color {Red}f(x)=x,g'(x)=sinx}$ រួចប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន
  

${\displaystyle \int xsinx\,dx\,\!=\int x(-cosx)'\,dx\,\!=x(-cosx)-\int (x)'(-cosx)\,dx\,\!}$
                ${\displaystyle =-xcosx+\int cosx\,dx\,\!=-xcosx+sinx+C}$

${\displaystyle (2)\int xlnx\,dx\,\!}$
តាង​ ${\displaystyle \color {Red}f(x)=lnx,g'(x)=x}$ គេបាន
${\displaystyle \int xlnx\,dx\,\!=\int lnx({\frac {1}{2}x^{2})'\,dx\,\!=lnx({\frac {1}{2}x^{2})-\int (lnx)'({\frac {1}{2}x^{2})\,dx\,\!}$
                ${\displaystyle ={\frac {1}{2}x^{2}lnx-{\frac {1}{2}\int x\,dx\,\!={\frac {1}{2}x^{2}lnx-{\frac {1}{4}x^{2}+C}$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
${\displaystyle (1)\int sin^{2}xcosx\,dx\,\!}$

• របៀបទី១

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {1}{(x+3)(x+2)(x+5)}\,\!={\frac {A}{x+3}\,\!+{\frac {B}{x+2}\,\!+{\frac {C}{x+5}\,\!}$

តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ ${\displaystyle x\!}$

• ​​ របៀបទី២

គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+3\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-3\!}$ គេបាន ${\displaystyle A=-{\frac {1}{2}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+2\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-2\!}$ គេបាន ${\displaystyle B={\frac {1}{3}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+5\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-5\!}$ គេបាន ${\displaystyle C={\frac {1}{6}\!}$

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+1)(x-2)(x+7)}\,\!={\frac {A}{x+1}\,\!+{\frac {B}{x-2}\,\!+{\frac {C}{x+7}\,\!}$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+1\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-1\!}$ គេបាន ${\displaystyle A=-{\frac {1}{9}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x-2\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=2\!}$ គេបាន ${\displaystyle B={\frac {5}{27}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+7\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-7\!}$ គេបាន ${\displaystyle C={\frac {25}{27}\!}$

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {x+2}{(x+3)^{3}(x-1)}\,\!={\frac {A}{(x+3)^{3}\,\!+{\frac {B}{(x+3)^{2}\,\!+{\frac {C}{x+3}\,\!+{\frac {D}{x-1}\,\!}$
យក${\displaystyle x=0\!}$ គេបាន​${\displaystyle B=-{\frac {3}{16}\,\!}$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle (x+3)^{3}\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-3\!}$ គេបាន ${\displaystyle A={\frac {1}{4}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x-1\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=1\!}$ គេបាន ${\displaystyle D={\frac {3}{64}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+3\!}$ រួចយក ${\displaystyle x\to +\infty \,\!}$
គេបាន ${\displaystyle 0=C+D;C=-{\frac {3}{64}\,\!}$

យក ${\displaystyle x=0\!}$ គេបាន ${\displaystyle B=-{\frac {3}{16}\,\!}$

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {x+1}{(x-2)(x^{2}+1)}\,\!={\frac {A}{x-2}\,\!+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}\,\!}$

គុណអង្គទាំង២ នឹង ${\displaystyle x-2\!}$ គេបាន ${\displaystyle A={\frac {3}{5}\,\!}$
គុណអង្គទាំង២​ នឹង ${\displaystyle x^{2}+1\!}$ រួចយក​ ${\displaystyle x=i\!}$

គេបាន ${\displaystyle B=-{\frac {3}{5}\,\ ;\,C=-{\frac {1}{5}\,\!}$

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {4}{x^{4}+1}\,\!={\frac {Ax+B}{x^{2}-{\sqrt {2}x+1}\,\!+{\frac {Cx+D}{x^{2}+{\sqrt {2}x+1}\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle f(x)={\frac {4}{x^{4}+1}\,\!}$ ជាអនុគមន៍គូ គេបាន

${\displaystyle {\frac {Ax+B}{x^{2}-{\sqrt {2}x+1}\,\!+{\frac {Cx+D}{x^{2}+{\sqrt {2}x+1}\,\!={\frac {-Ax+B}{x^{2}+{\sqrt {2}x+1}\,\!+{\frac {-Cx+D}{x^{2}-{\sqrt {2}x+1}\,\!}$

គេបាន​ ${\displaystyle A=-C\ ;\,B=D\!}$
គុណអង្គទាំង២នឹង ${\displaystyle x^{2}-{\sqrt {2}x+1\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=i\!}$ គេបាន ${\displaystyle A=-{\sqrt {2}\,\ ;\,C={\sqrt {2}\!}$

យក ${\displaystyle x=0\!}$ គេបាន ${\displaystyle B=D=2\!}$

ប្រើសម្រាប់​គណនាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់ ។

• បើ ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}\!}$ មានឫសលំដាប់ខ្ពស់ច្រើន គេបាន៖

${\displaystyle \color {blue}\int {\frac {P(x)}{Q(x)}\,dx\,\!={\frac {X(x)}{R(x)}\,\!+\int {\frac {Y(x)}{S(x)}\,dx\,\!}$
ដែល ${\displaystyle R(x)=PGCD[Q(x);Q^{'}(x)]\!}$
${\displaystyle S(x)={\frac {Q(x)}{R(x)}\!}$
${\displaystyle X(x)\!}$​ និង ${\displaystyle Y(x)\!}$ ជាពហុធាមានមេគុណត្រូវកំណត់ហើយមានដឺក្រេរៀងគ្នា តូចជាង ${\displaystyle R(x)\!}$ និង ${\displaystyle S(x)\!}$ មួយឯកតា

ឧទាហរណ៍​ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}\,dx\,\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}\,\!={\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}\,\!={\frac {A}{(x-1)^{2}\,\!+{\frac {B}{x-1}\,\!+{\frac {Cx+D}{(x^{2}+x+1)^{2}\,\!+{\frac {Ex+F}{x^{2}+x+1}\,\!}$

គេបាន​ ${\displaystyle Q(x)=(x^{3}-1)^{2};Q^{'}(x)=6x^{2}(x^{3}-1);R(x)=PGCD[Q(x);Q^{'}(x)]=x^{3}-1;S(x)={\frac {Q(x)}{R(x)}\,\!={\frac {(x^{3}-1)^{2}{x^{3}-1}\,\!=x^{3}-1\!}$

${\displaystyle \Rightarrow I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}\,dx\,\!={\frac {ax^{2}+bx+c}{x^{3}-1}\,\!+\int {\frac {a^{'}x^{2}+b^{'}x+c^{'}{x^{3}-1}\,dx\,\!}$
ដេរីវេអង្គទាំង២ គេបាន ${\displaystyle {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}\,\!={\frac {(2ax+b)(x^{3}-1)-3x^{2}(ax^{2}+bx+c)}{(x^{3}-1)^{2}\,\!+{\frac {(a^{'}x^{2}+b^{'}x+c^{'})(x^{3}-1)}{(x^{3}-1)^{2}\,\!}$
តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ${\displaystyle x\!}$ គេបាន​​ ${\displaystyle a=0;b=-{\frac {1}{3}\,\!;c=0;a^{'}=0;b^{'}=0;c^{'}=-{\frac {2}{3}\!}$
${\displaystyle \Rightarrow I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}\,dx\,\!={\frac {-{\frac {1}{3}\,\!x}{x^{3}-1}\,\!+\int {\frac {-{\frac {2}{3}\,\!}{x^{3}-1}\,dx\,\!}$

${\displaystyle \color {blue}I=\int f(x^{\frac {m}{n}\,\!;x^{\frac {p}{q}\,\!;......)\,dx\,\!}$
គេត្រូវតាង ${\displaystyle x=t^{k}\!}$ ដែល ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\displaystyle {\frac {m}{n}\,\!;{\frac {p}{q}\,\!;......\!}$

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {\sqrt[{3}]{x}{\sqrt {x}\,\!+{\sqrt[{4}]{x}\,dx\,\!=\int {\frac {x^{\frac {1}{3}{x^{\frac {1}{2}\,\!+x^{\frac {1}{4}\,\!}$
តាង ${\displaystyle x=t^{12}\!}$

${\displaystyle \color {blue}I=\int f\left[\left({\frac {ax+b}{cx+d}\,\!\right)^{\frac {m}{n}\,\!;\left({\frac {ax+b}{cx+d}\,\!\right)^{\frac {p}{q}\,\!;......\right]\,dx\,\!}$
គេតាង ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}\,\!=t^{k}\!}$ ដែល ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\displaystyle {\frac {m}{n}\,\!;{\frac {p}{q}\,\!;......\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}\,dx\,\!=\int \left({\frac {1-x}{1+x}\right)^{\frac {1}{2}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\frac {1-x}{1+x}\,=\,t^{2}\,\!\Leftrightarrow \,x={\frac {1-t^{2}{1+t^{2}\!}$

${\displaystyle \color {blue}I=\int f\left(x;{\sqrt {ax^{2}+bx+c}\right)\,dx\,\!}$

• ក/ បើ Δ<0 ; a>0 តាង ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,=\,{\sqrt {a}x+t\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-x+3}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-x+3}\,=\,x+t\,\Rightarrow x={\frac {3-t^{2}{1+2t}\,\!}$

• ខ/ បើ Δ<0 ; c >0 តាង ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,=\,xt+{\sqrt {c}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {(1-{\sqrt {1+x+x^{2})^{2}{x^{2}{\sqrt {1+x+x^{2}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\sqrt {1+x+x^{2}\,=\,xt+1\Rightarrow x={\frac {1-2t}{t^{2}-1}\,\!}$

• គ/ បើ Δ>0 គេបាន ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,=\,{\sqrt {a(x-x_{1})(x-x_{2})}\,\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x}{x}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+2x}\,=\,xt\Rightarrow x={\frac {2}{t^{2}-1}\,\!}$

គេបំលែង ${\displaystyle \color {Red}I=\int {\frac {P_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,dx\,=\,P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,+\,\lambda \int {\frac {1}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}\,dx\,\!}$
${\displaystyle P_{n-1}(x)\!}$ ជាពហុធាដឺក្រេ ${\displaystyle n-1\!}$ មានមេគុណត្រូវកំណត់ ហើយគេអាចគណនាមេគុណទាំងនោះ​ ដោយដេរីវេអង្គទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀមេគុណរួមដឺក្ររេនៃះ${\displaystyle x\!}$ ។

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt {x^{2}+2x+2}\,dx\,\!}$
គេបាន : ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt {x^{2}+2x+2}\,dx\,=\,(ax^{2}+bx+c){\sqrt {x^{2}+2x+2}\,+\,\lambda \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+2x+2}\,dx\,\!}$

${\displaystyle \color {blue}I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,dx\,\!}$
គេអាចគណនាតាមបីករណី៖

បើ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} \!}$
តាង​ ${\displaystyle x=t^{k}\!}$ ដែល ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\displaystyle m;n\!}$

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{\sqrt {x}({\sqrt[{4}]{x}+1)^{10}\,dx\,=\,\int x^{-{\frac {1}{2}(x^{\frac {1}{4}+1)^{-10}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle x=t^{4}\!}$

បើ ${\displaystyle p\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}\in \mathbb {Z} \,\!}$
តាង ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{k};k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃ${\displaystyle p\!}$

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{4}]{x}{\sqrt {x}\,dx\,=\,\int x^{-{\frac {1}{2}(1+x^{\frac {1}{4})^{\frac {1}{3}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle 1+x^{\frac {1}{4}=t^{3}\,\Leftrightarrow x=(t^{3}-1)^{4}\,\!}$

បើ​ ${\displaystyle p\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}+p\in \mathbb {Z} \,\!}$

តាង ${\displaystyle a+bx^{-n}=t^{k}\!}$​​ ឬ ${\displaystyle {\frac {a+bx^{n}{x^{m}\!}$ ដែល​ ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃ${\displaystyle p\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{4}{\sqrt {1+x^{2}\,dx\,=\,\int x^{-4}(1+x^{2})^{-{\frac {1}{2}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle 1+x^{-2}=t^{2}\,\Leftrightarrow x=(t^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}\,\!}$

• ១/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int P(x)sinaxdx\,;\,\int P(x)cosaxdx\,;\,\int P(x)e^{ax}dx\,\!}$
  

ដែល ${\displaystyle P(x)\!}$ ជាពហុធា​ ${\displaystyle ;\,a}$​ ជាចំនួនថេរ គេតាង ${\displaystyle u=P(x)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int xsin2xdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=x\Rightarrow du=dx\!}$

• ២/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int P(x)log_{a}x\!dx}$ តាង ${\displaystyle u=log_{a}x\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int x^{2}log_{2}xdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=log_{2}x\!}$

• ៣/​ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int e^{ax}sinaxdx\,;\,\int e^{ax}cosaxdx\!}$
  តាង ${\displaystyle u=e^{ax}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int e^{x}cos3xdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=e^{x}\!}$

• ៤/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int P(x)arcsinxdx\ ;\,\int P(x)arccosxdx\,;\,\int P(x)arctanxdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=arcsinx\,;\,u=arccosx\,;u=arctanx\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int xarctanxdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=arctanx\Rightarrow \,du={\frac {1}{1+x^{2}\,dx\,\!}$

• ៥/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int cosmxcosnxdx\,;\,\int sinmxsinnxdx\,;\,\int sinmxcosnxdx\!}$
  

ប្រើរូបមន្ត នូឌុប

${\displaystyle cosacosb\,=\,{\frac {1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]\!}$
${\displaystyle sinasinb\,=\,{\frac {1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\!}$
${\displaystyle sinacosb\,=\,{\frac {1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int sin4xsin3xdx\!}$

• ១/​ បើ ${\displaystyle m\!}$ សេស តាង ${\displaystyle t=cosx\!}$
  
• ២/ បើ ${\displaystyle n\!}$​ សេស តាង ${\displaystyle t=sinx\!}$
  
• ៣/ បើ ${\displaystyle m\,;\,n\!}$ គូ ប្រើវិធីបន្ថយដឺក្រេ ${\displaystyle cos^{2}x={\frac {1+cos2x}{2}\,;\,sin^{2}x={\frac {1-cos2x}{2}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int sin^{3}xcos^{4}xdx\!}$ តាង ${\displaystyle t=cosx\!}$

គេតាង​ ${\displaystyle t=tanx\Rightarrow \,dt=(1+tan^{2}x)dx\,\Leftrightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}\,dt\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int sin^{-{\frac {3}{2}xcos^{-1}xdx\,=\,\int {\frac {1}{sin^{\frac {3}{2}cosx}\,dx\,\!}$
បំលែង​ ${\displaystyle {\frac {1}{sin^{\frac {3}{2}{cosx}\,=\,(1+{\frac {1}{tan^{2}x})^{\frac {3}{4}(1+tan^{2})^{\frac {1}{2}\!}$
តាង ${\displaystyle t=tanx\,\Leftrightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}\,dt\,\!}$ គេបាន ${\displaystyle I=\int t^{-{\frac {3}{2}(1+t^{2})^{\frac {1}{4}\,dt\!}$
តាង ${\displaystyle 1+t^{-2}=k^{4}\!}$

• បើ ${\displaystyle m\!}$ សេស ${\displaystyle (\!}$រៀង${\displaystyle n\!}$​សេស${\displaystyle )\!}$​ ចូរប្រើរូបមន្ត ${\displaystyle cos^{2}x+sin^{2}x=1\!}$
  
• បើ ${\displaystyle m\!}$ គូ ${\displaystyle (\!}$រៀង${\displaystyle n\!}$គូ${\displaystyle )\!}$ ចូរប្រើរូបមន្ត ${\displaystyle cos^{2}x={\frac {1+cos2x}{2}\ ;\,sin^{2}x={\frac {1-cos2x}{2}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int cos^{5}xdx\,=\,\int cos^{4}xcosxdx\,=\,\int (1-sin^{2}x)^{2}cosxdx\!}$
តាង ${\displaystyle t=sinx\!}$

គេប្រើវីធីបន្ថយដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int tan^{5}xdx\,=\,\int tan^{3}xtan^{2}xdx\,=\,\int [tan^{3}x(tan^{2}x+1)-tan^{3}x]dx\!}$

ជាទូទៅ គេតាង${\displaystyle t=tan{\frac {x}{2}\Rightarrow x=2arctant\Rightarrow dx={\frac {2}{1+t^{2}dt\!}$
${\displaystyle sinx={\frac {2t}{1+t^{2}\,;\,cosx={\frac {1-t^{2}{1+t^{2}\,;\,tanx={\frac {2t}{1-t^{2}\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{1+sinx}\,dx\,\!}$
តាង​ ${\displaystyle t=tan{\frac {x}{2}\!}$

• ក/​ បើ ${\displaystyle \color {blue}R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx)\!}$ តាង ${\displaystyle t=cosx\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sin^{3}x}{cosx+sin^{2}x+1}\,dx\,\!}$
${\displaystyle t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx\!}$

• ខ/ បើ ${\displaystyle \color {blue}R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx)\!}$ តាង​ ${\displaystyle t=sinx\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {cos^{5}x}{sin^{3}x+cos^{2}x-sinx}\,dx\,\!}$
${\displaystyle t=sinx\Rightarrow dt=cosxdx\!}$

• គ/ បើ ${\displaystyle \color {blue}R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx)\!}$ តាង​ ${\displaystyle t=tanx\Rightarrow x=arctant\Rightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}dt\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {cos^{2}x}{sin^{2}x+4sinxcosx}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle t=tanx\!}$

• ក/​ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}\!}$ គេត្រូវ តាង${\displaystyle x=acost\!}$ ឬ ${\displaystyle x=asint\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\sqrt {2-x^{2}\,dx\,=\,\int {\sqrt {\sqrt {2^{2}-x^{2}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle x={\sqrt {2}sint\Rightarrow dx={\sqrt {2}costdt\,;\,t=arcsin{\frac {x}{\sqrt {2}\!}$

• ខ/ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់​ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}\!}$ គេត្រូវតាង​ ${\displaystyle x={\frac {a}{cost}\!}$ ឬ ${\displaystyle x={\frac {a}{sint}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{3}{\sqrt {x^{2}-4}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle x={\frac {2}{cost}\Rightarrow dx={\frac {2sint}{cos^{2}t}dt\,;\ t=arccos{\frac {2}{x}\!}$

គេត្រូវបំលែង​ : ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sinx-cosx}{sinx+2cosx}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sinx-cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx\!}$
${\displaystyle \Rightarrow A=-{\frac {1}{5}\,;\,B=-{\frac {3}{5}\!}$

គេត្រូវបំលែង ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sinx-cosx}{(2sinx+cosx)^{2}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sinx-cosx=A(2sinx+cosx)+B(2cosx-sinx)=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx\!}$
គេបាន ${\displaystyle A={\frac {1}{5}\,;\,B=-{\frac {3}{5}\!}$

គេត្រូវបំលែង ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx+c^{'}\,=\,A(asinx+bcosx+c)+B(acosx-bsinx)+C\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \color {Blue}I=\int {\frac {sinx-2cosx+3}{sinx+2cosx-3}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sinx-2cosx+3\,=\,A(sinx+2cosx-3)+B(cosx-2sinx)+C\,=\,(A-2B)sinx+(2A+B)cosx-3A+C\!}$
គេបាន ${\displaystyle A=-{\frac {3}{5}\,;\,B=-{\frac {4}{5}\,;\,C={\frac {6}{5}\!}$

គេត្រូវបំលែង ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sin^{2}x+2b^{'}sinxcosx+c^{'}cos^{2}x\,=\,(asinx+bcosx)(Asinx+Bcosx)+C(sin^{2}x+cos^{2}x)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sin^{2}x-2sinxcosx+3cos^{2}x}{sinx-cosx}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sin^{2}x-2sinxcosx+3cos^{2}x\,=\,(sinx-cosx)(Asinx+Bcosx)+C(sin^{2}x+cos^{2}x)\,=\,(A+C)sin^{2}x+(B-A)sinxcosx+(C-B)cos^{2}x\!}$
គេបាន ${\displaystyle A=0\,;\,B=-2\,;\,C=1\!}$

• អាំងតេក្រាលកំណត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ

1. ↑ Viray An. (1998) The Orkida Dictionary Of English-Cambodia Language.