갈루아 확대

갈루아 이론에서 갈루아 확대(Galois擴大, 영어: Galois extension)는 갈루아 군이 잘 정의될 수 있는 체의 확대이다.

갈루아 확대는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.

• 대수적 확대이다.
• 정규 확대이다. 즉, 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$의 근 가운데 적어도 하나가 ${\displaystyle L}$에 포함된다면, ${\displaystyle p}$의 모든 근들이 ${\displaystyle L}$에 포함된다.
• 분해 가능 확대이다. 즉, 모든 ${\displaystyle a\in L}$에 대한 최소 다항식의 각 기약 인자들의 근들이 서로 겹치지 않는다.

유한 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.

• ${\displaystyle L/K}$는 갈루아 확대이다.
• ${\displaystyle L/K}$는 정규 분해 가능 확대이다.
• ${\displaystyle L}$은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$의 분해체이다.
• ${\displaystyle [L:K]=|\operatorname {Aut} (L/K)|}$이다. 즉, 체의 확대의 차수 ${\displaystyle [L:K]=\dim _{K}L}$는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 확대들을 생각하자.

• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2})}$는 갈루아 확대이다.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2})}$는 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 ${\displaystyle x^{3}-2\in \mathbb {Q} [x]}$의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )}$는 대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 ${\displaystyle \pi }$가 초월수이기 때문이다.

(유리수체는 완전체이므로, 유리수의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.)

• Bewersdorff, Jörg (2006). 《Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. 
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