계수 (선형대수학)

선형대수학에서, 선형 변환의 계수(階數, 영어: rank)는 선형 변환의 비(非) 퇴화 정도를 나타내는 기수이다. 기호는 ${\displaystyle \operatorname {rank} }$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {rk} }$.^[1]

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$의 계수 ${\displaystyle \operatorname {rank} T}$는 ${\displaystyle T}$의 상의 차원이다.

${\displaystyle \operatorname {rank} T=\dim T(V)\in \operatorname {Card} }$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$의 계수 ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$는 다음과 같은 여러 가지 정의를 가지며, 이들은 모두 서로 동치이다.

• 열벡터의 왼쪽에 ${\displaystyle A}$를 곱하는 선형 변환 ${\displaystyle A\cdot \colon K^{n}\to K^{m}$의 계수. 즉, 열공간의 차원.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} (A\cdot )=\dim\{Ax\colon x\in K^{n}\}=\dim \operatorname {Span} \{(A_{1j},\dots ,A_{mj})\}_{j=1}^{n}$

• 행벡터의 오른쪽에 ${\displaystyle A}$를 곱하는 선형 변환 ${\displaystyle \cdot A\colon K^{m}\to K^{m}$의 계수. 즉, 행공간의 차원.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} (\cdot A)=\dim\{x^{\operatorname {T} }A\colon x\in K^{m}\}=\dim \operatorname {Span} \{(A_{i1},\dots ,A_{in})\}_{i=1}^{m}$

• 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=|S|\qquad (S\subseteq \{(A_{1j},\dots ,A_{mj})\}_{j=1}^{n},\;\forall s\in S\colon s\not \in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\}),\;\forall s\in \{(A_{1j},\dots ,A_{mj})\}_{j=1}^{n}\colon s\in \operatorname {Span} (S))}$

• 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 행벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 행벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 원소 개수는 항상 같다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=|S|\qquad (S\subseteq \{(A_{i1},\dots ,A_{in})\}_{i=1}^{m},\;\forall s\in S\colon s\not \in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\}),\;\forall s\in \{(A_{i1},\dots ,A_{in})\}_{i=1}^{m}\colon s\in \operatorname {Span} (S))}$

• 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\max\{|I|=|J|\colon \det(A_{I,J})\neq 0,\;I\subseteq \{1,\dots ,m\},\;J\subseteq \{1,\dots ,n\}\}$

계수는 행렬의 여러 성질과 관련되며, 계수가 높을수록 행렬의 퇴화 정도가 덜하다. 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 영행렬이다.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=0}$

또한, ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A\cdot \colon x\mapsto Ax}$는 단사 함수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=n}$

또한, ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A\cdot \colon x\mapsto Ax}$는 전사 함수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=m}$

특히, ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 가역 행렬이다.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=n}$

 이 부분의 본문은 계수-퇴화차수 정리입니다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음의 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity inequality)가 성립한다.

${\displaystyle \dim \ker A+\operatorname {rank} A=n}$

• 행렬의 계수는 행의 수와 열의 수 이하이다. 즉, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A\leq \min\{m,n\}$

• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B}$

• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle n\times p}$ 행렬 ${\displaystyle B}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min\{\operatorname {rank} A,\operatorname {rank} B\}$

• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle n\times p}$ 행렬 ${\displaystyle B}$에 대하여, 다음의 실베스터 부등식(영어: Sylvester's inequality)이 성립한다.^[2]

  ${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\geq \operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B-n}$

• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle n\times p}$ 행렬 ${\displaystyle B}$ 및 ${\displaystyle p\times q}$ 행렬 ${\displaystyle C}$에 대하여, 다음의 프로베니우스 부등식(영어: Frobenius' inequality)이 성립한다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} (ABC)\geq \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)-\operatorname {rank} B}$

• 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} A^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} (A^{\operatorname {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\operatorname {T} })}$

• 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} {\bar {A}=\operatorname {rank} A^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} A^{*}=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*})}$

${\displaystyle A}$의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix}$

첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 ${\displaystyle A}$의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

행렬의 동치 표준형은 그 계수에 따라 완전히 결정된다. 즉, 두 행렬이 동치일 필요충분조건은 계수가 같은 것이다. 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$의 동치 표준형은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{\operatorname {rank} A}&0\\0&0\end{pmatrix}$

• 계수 정리

• “Rank”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix rank”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Rank of a matrix”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Rank of a linear mapping”. 《PlanetMath》 (영어).