국소화 (환론)

환론에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(영어: Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.

${\displaystyle R}$가 가환환이고, ${\displaystyle S\subseteq R}$가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle S}$에 대한 국소화 ${\displaystyle (S^{-1}R,\phi )}$는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 ${\displaystyle S^{-1}R}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$으로 구성된다.

1. 임의의 ${\displaystyle s\in S\subseteq R}$에 대하여, ${\displaystyle \phi (s)\in S^{-1}R}$는 가역원이다.
2. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 ${\displaystyle R'}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle \phi '\colon R\to R'}$에 대하여, ${\displaystyle \phi '=\chi \circ \phi }$이 되는 환 준동형 ${\displaystyle \chi \colon S^{-1}R\to R'}$가 유일하게 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}R&{\xrightarrow {\phi }&S^{-1}R\\&{\scriptstyle \phi '}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&R'\end{matrix}$

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

위 보편 성질은 ${\displaystyle S}$가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 ${\displaystyle S}$를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 ${\displaystyle S}$가 곱셈 모노이드가 아니고, ${\displaystyle {\tilde {S}$가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 ${\displaystyle S^{-1}R={\tilde {S}^{-1}R}$가 된다.

위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle R\times S}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 ${\displaystyle r,r'\in R}$, ${\displaystyle s,s'\in S}$이고 ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$인 ${\displaystyle t\in S}$가 있다면

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')}$

으로 정의한다. 그렇다면 ${\displaystyle S^{-1}R=(R\times S)/{\sim }$로 놓자. 이는 대략 ${\displaystyle (r,s)}$를 ${\displaystyle r/s}$와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 ${\displaystyle (r,s)}$를 ${\displaystyle r/s}$로 쓰자.

${\displaystyle S^{-1}R}$ 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

${\displaystyle {\frac {r}{s}+{\frac {r'}{s'}={\frac {rs'+r's}{ss'}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}{\frac {r'}{s'}={\frac {rr'}{ss'}$.

또한, ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}$.

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 ${\displaystyle R}$ 및 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$에 대하여, 국소화 ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,^{[1]:289, Proposition (4.9.2)} 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.

• (A) ${\displaystyle S^{-1}R}$의 모든 원소 ${\displaystyle x}$에 대하여, ${\displaystyle xs=r}$가 되는 ${\displaystyle s\in S}$ 및 ${\displaystyle r\in R}$가 존재한다.^{[1]:288, (4.9.1a)}
• (A′) ${\displaystyle S^{-1}R}$의 모든 원소 ${\displaystyle x}$에 대하여, ${\displaystyle xs=r}$가 되는 ${\displaystyle s\in S}$ 및 ${\displaystyle r\in R}$가 존재한다.
• (B) ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$의 핵은 ${\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}$이다.^{[1]:288, (4.9.1b)}
• (B′) ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$의 핵은 ${\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}$이다.
• (C) ${\displaystyle R\neq 0}$이며 ${\displaystyle 0\not \in S}$라면 ${\displaystyle S^{-1}R\neq 0}$이다.^{[1]:289, Example (4.9.3)}

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 ${\displaystyle S}$-가역화 환(普遍${\displaystyle S}$-可逆化環, 영어: universal ${\displaystyle S}$-inverting ring)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Ring} }(R,-)}$ 속의, ${\displaystyle S}$를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

${\displaystyle G_{S}\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle G_{S}(R')=\left\{\phi \in \hom _{\operatorname {Ring} }(R,R')\colon \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')\right\}$

를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle F_{S}\dashv G_{S}$를 가지며, 따라서 ${\displaystyle G_{S}$는 표현 가능 함자이다. 즉,

${\displaystyle G_{S}(-)=\hom _{\operatorname {Ring} }(F_{S}(\{\bullet \}),-)}$

로 생각할 수 있으며, ${\displaystyle F_{S}(\{\bullet \})}$는 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$를 이룬다.

만약 ${\displaystyle R}$가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.^{[1]:Proposition (4.9.2)} 환 ${\displaystyle R}$의 표시

${\displaystyle R\cong \langle \{r_{i}\}_{i\in I}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\rangle }$

를 고르자. 즉, 생성원 ${\displaystyle r_{i}$와 관계 ${\displaystyle \phi _{j}$로 나타내자. 그렇다면, 각 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여 생성원 ${\displaystyle s^{*}$를 추가하고, 또 관계

${\displaystyle ss^{*}=s^{*}s=1}$

를 추가하자. 그렇다면

${\displaystyle S^{-1}R=\left\langle \{r_{i}\}_{i\in I}\sqcup \{s^{-1}\}_{s\in S}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\cup \{ss^{*}-1\}_{s\in S}\cup \{s^{*}s-1\}_{s\in S}\right\rangle }$

는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서, ${\displaystyle S^{-1}R}$의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}^{(1)}(s_{1}^{(1)})^{-1}r_{i}^{(2)}(s_{1}^{(2)})^{-1}\cdots r_{i}^{(k_{i})}(s_{1}^{(k_{i})})^{-1}$

비가환환 ${\displaystyle R}$의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 ${\displaystyle R}$와 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$가 오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, ${\displaystyle R}$와 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.

• ${\displaystyle Sr\cap Rs\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S}$
• ${\displaystyle \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad \forall r\in R}$

마찬가지로, ${\displaystyle R}$와 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.

• ${\displaystyle rS\cap sR\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S}$
• ${\displaystyle \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad \forall r\in R}$

${\displaystyle (R,S)}$가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 ${\displaystyle R\times S}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff \exists {\tilde {r}\in R,{\tilde {s}\in S\colon {\tilde {s}s'-{\tilde {r}s={\tilde {s}r'-{\tilde {r}r=0}$

그렇다면 ${\displaystyle S^{-1}R}$는 집합으로서 몫집합 ${\displaystyle (R\times S)/{\sim }$이다. ${\displaystyle (r,s)}$의 동치류를 ${\displaystyle s^{-1}r}$로 표기하자. ${\displaystyle S^{-1}R}$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

${\displaystyle (s^{-1}r)(s'^{-1}r')=({\tilde {s}s)^{-1}({\tilde {r}r')\qquad ({\tilde {r}\in R,\quad {\tilde {s}\in S,\quad {\tilde {r}s'={\tilde {s}r)}$

여기서 ${\displaystyle {\tilde {r}s'={\tilde {s}r}$인 ${\displaystyle {\tilde {r}\in R,{\tilde {s}\in S}$는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"${\displaystyle {\tilde {s}^{-1}{\tilde {r}=rs'^{-1}$"

로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, ${\displaystyle S^{-1}R}$ 위의 덧셈은 다음과 같다.

${\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=({\tilde {s}s)^{-1}({\tilde {s}r+{\tilde {r}r')\qquad ({\tilde {r}\in R,\quad {\tilde {s}\in S,\quad {\tilde {s}s={\tilde {r}s')}$

여기서 ${\displaystyle {\tilde {s}s={\tilde {r}s'}$인 ${\displaystyle {\tilde {r}\in R,{\tilde {s}\in S}$는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"${\displaystyle {\tilde {s}^{-1}{\tilde {r}=ss'^{-1}$"

로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는

"${\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+{\tilde {s}^{-1}{\tilde {r}r'\right)=s^{-1}{\tilde {s}^{-1}\left({\tilde {s}r+{\tilde {r}r'\right)=({\tilde {s}s)^{-1}\left({\tilde {s}r+{\tilde {r}r'\right)}$"

로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.^{[1]:Corollary (4.10.11)}

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

환 ${\displaystyle R}$의 곱셈에 대한 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$ 및 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle S}$에서의 국소화 ${\displaystyle S^{-1}M}$은 ${\displaystyle S^{-1}R}$ 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M}$

또한, 표준적인 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 사상 ${\displaystyle \phi \colon M\to S^{-1}M}$가 존재한다.

이는 함자

${\displaystyle (S^{-1}R\otimes _{R})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} }\to {}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }$

를 정의하며, 환 준동형 ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$에 의한 망각 함자

${\displaystyle F\colon {}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }\to {}_{R}\operatorname {Mod} }$

의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군의 준동형 ${\displaystyle \phi _{N}\colon M\to N}$에 대하여, 만약 임의의 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여 ${\displaystyle s\cdot \colon N\to N}$이 전단사 함수라면, ${\displaystyle \phi _{N}=\chi \circ \phi }$인 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 준동형 ${\displaystyle \chi \colon S^{-1}M\to N}$이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi }&S^{-1}M\\&{\scriptstyle \phi _{N}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&N\end{matrix}$

${\displaystyle R}$가 가환환일 때, 가군의 국소화 ${\displaystyle S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes _{R}M}$는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

${\displaystyle S\times M}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

${\displaystyle (s,m)\sim (s',m')\iff \exists t\in S\colon ts'm=tsm'}$

${\displaystyle S^{-1}M}$은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. ${\displaystyle (s,m)\in S\times M}$의 동치류를 ${\displaystyle m/s}$로 표기하자. 그렇다면, ${\displaystyle S^{-1}M}$ 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {m}{s}+{\frac {m'}{s'}={\frac {s'm+sm'}{ss'}\qquad \forall m,m'\in M,\;s,s'\in S}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}{\frac {m}{s'}={\frac {rm}{ss'}\qquad \forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R}$

가환환 ${\displaystyle R}$ 및 곱셈 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$에 대하여, 국소화 ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$의 소 아이디얼들은 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 가운데 ${\displaystyle S}$와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

${\displaystyle f\colon \operatorname {Spec} (S^{-1}R)\to \{\mathfrak {p}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}\cap S=\varnothing \}$

${\displaystyle f\colon {\mathfrak {q}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {q})}$

여기서 ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}$에 대하여, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}$는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 ${\displaystyle {\mathfrak {p}$에 대응한다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 및 곱셈 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 표준적 환 준동형 ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$가 단사 함수이다.
• ${\displaystyle S}$는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)

그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 단사 가군 ${\displaystyle I}$ 및 임의의 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle I\to I_{r}$는 전사 함수이다.^{[2]:214, Lemma III.3.3}

환 ${\displaystyle R}$ 및 곱셈 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:300, Theorem (4.10.6)}

• ${\displaystyle (R,S)}$는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
• 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to R'}$이 존재한다.
  • ${\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')}$
  • ${\displaystyle R'=\phi (S)^{-1}\phi (R)}$
  • ${\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}$

또한, 이러한 조건을 만족시키는 ${\displaystyle \phi \colon R\to R'}$는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.^{[1]:302, Corollary (4.10.11)}

마찬가지로, 환 ${\displaystyle R}$ 및 곱셈 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle (R,S)}$는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
• 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to R'}$이 존재한다.
  • ${\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')}$
  • ${\displaystyle R'=\phi (R)\phi (S)^{-1}$
  • ${\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}$

특히, 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

(비가환일 수 있는) 환 ${\displaystyle R}$ 및 곱셈 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle 0\in S}$이라고 하자. 그렇다면 항상 ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ (자명환)이다. 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
• ${\displaystyle S=\{1\}$이라고 하자. 그렇다면 항상 ${\displaystyle S^{-1}R=R}$이다.

(곱셈 항등원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$에 대하여,

${\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)}$

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, ${\displaystyle (R,S)}$가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$를 ${\displaystyle R}$의 전분수환 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$라고 한다.

특히, 만약 ${\displaystyle R}$가 (가환) 정역이라면 ${\displaystyle S=R\setminus \{0\}$이며, ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$는 체를 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R\setminus \{0\}$가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$은 다음과 같이 ${\displaystyle R\to \operatorname {Frac} R}$의 일부분을 이룬다.

${\displaystyle R\to S^{-1}R\to \operatorname {Frac} R}$

이에 따라 ${\displaystyle S^{-1}R}$는 항상 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$의 부분환을 이룬다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 ${\displaystyle (p)}$ 또는 영 아이디얼 ${\displaystyle (0)}$이다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{m/n\colon \gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q} }$

즉, 분모가 ${\displaystyle p}$의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}$는 이산 값매김환이며, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q} }$는 체이다.

정수환의 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$를 원소 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$에서 국소화하면 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k}=\{m/k^{n}\colon \gcd\{m,k\}=1,\;n\in \mathbb {N} \}\subsetneq \mathbb {Q} \qquad (k\neq 0)}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}=0}$ (자명환)

즉, 분모가 ${\displaystyle k}$의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}$로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

정수환의 몫환 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /(n)}$을 생각해 보자. ${\displaystyle n}$이 소수의 거듭제곱이라면 ${\displaystyle S=\{1\}$이거나 ${\displaystyle 0\in S}$이다. 만약 ${\displaystyle n=ab}$이고, ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 ${\displaystyle \mathbb {Z} /ab=\mathbb {Z} /a\times \mathbb {Z} /b}$이다. 그렇다면 ${\displaystyle S=\{(1,0),(1,1)\}$이 가능한데, 이 경우 ${\displaystyle S^{-1}R=\mathbb {Z} /b}$이다.

체 ${\displaystyle K}$ 및 정수 ${\displaystyle n\geq 2}$에 대하여, 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (K;n)}$을 생각하자. ${\displaystyle E_{i,j}$가 ${\displaystyle (i,j)}$에서 성분 ${\displaystyle 1\in K}$을 가지며, 나머지 성분이 모두 ${\displaystyle 0\in K}$인 행렬이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle S=\{1,E_{i,j}\}$일 때, 국소화 ${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Mat} (K;n)}$는 자명환이다.^{[1]:289–290, Example (4.9.3)}

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.^[2]:xvi

• 원소 ${\displaystyle f\in R}$가 주어진 경우, ${\displaystyle R_{f}$는 ${\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}$에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 ${\displaystyle f}$가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 ${\displaystyle U_{f}\subset \operatorname {Spec} R}$에 국한한 것이다.
  • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 ${\displaystyle k[x]}$의 경우 ${\displaystyle k[x]_{x}=k[x,x^{-1}]}$는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 ${\displaystyle \{x\neq 0\}=\mathbb {A} _{k}^{1}\setminus \{0\}$ 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, ${\displaystyle \{x\neq 0\}$으로 국한된 것을 알 수 있다.
• 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}\in R}$가 주어진 경우, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}$는 ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}$에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 ${\displaystyle {\mathfrak {p}\in \operatorname {Spec} R}$의 자리스키 폐포 ${\displaystyle V({\mathfrak {p})}$의 근방에 국한한 것이다.
  • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 ${\displaystyle k[x]}$를 극대 아이디얼 ${\displaystyle (x)}$에서 국소화하면 유리 함수체 ${\displaystyle k[x]_{(x)}=k(x)=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x],g(0)\neq 0\}$을 얻는다. 이는 ${\displaystyle x=0}$의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, ${\displaystyle x=0}$의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.^{[3][4]:299[5]:57}

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.^[1]:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.^{[6]:466[4]:299} (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.^[1]:300)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레^[7]와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)^[8]가 도입하였다.^[5]:57

• Ranicki, Andrew, 편집. (2006년 2월). 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 330. 220–313쪽. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605. 
  • Škoda, Zoran (2006년 2월). 〈Noncommutative localization in noncommutative geometry〉. Ranicki, Andrew. 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 330. 220–313쪽. arXiv:math/0403276. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605. 

• 국소환
• 값매김환

• “Localization in a commutative algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Fractions, ring of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Localization”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Localization of a ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Localization of a commutative ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Localization of a module”. 《nLab》 (영어). 
• “Universal localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Commutative localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Ore localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Ore set”. 《nLab》 (영어). 
• “Ore domain”. 《nLab》 (영어). 
• Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 26일). “Ore condition”. 《Abstract Algebra》 (영어). 2016년 3월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 5일에 확인함. 
• “Noncommutative localization of a ring: complete construction” (영어). Math Overflow. 2016년 3월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 5일에 확인함.