극한 비교 판정법

미적분학에서 극한 비교 판정법(極限比較判定法, 영어: limit comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 두 양항 급수의 항의 비가 0이 아닌 실수로 수렴한다면, 두 급수의 수렴 여부는 같다.

두 양의 실수 항 급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$과 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$이 주어졌다고 하자 (${\displaystyle a_{n},b_{n}>0\forall n\geq 0}$). 또한, 극한

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}{b_{n}=L\in (0,\infty )}$

가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다.

보다 일반적으로, 두 음이 아닌 실수 항 ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$의 급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$과 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}{b_{n}=L'\in [0,\infty ]}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}{b_{n}=L''\in [0,\infty ]}$

이 존재하며, 항상 ${\displaystyle L''\leq L'}$이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle L'<\infty }$이며, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$이 수렴한다면, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ 역시 수렴한다.
• 만약 ${\displaystyle L''>0}$이며, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$이 수렴한다면, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ 역시 수렴한다.

특히, 만약 ${\displaystyle 0<L''\leq L'<\infty }$라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 ${\displaystyle L}$이 존재한다면, ${\displaystyle L=L'=L''}$이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다.

급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-n}$를 생각하자. 기하급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}$가 수렴하고

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1/(2^{n}-n)}{1/2^{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n}{2^{n}-n}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1-n/2^{n}\\&={\frac {1}{1-0}\\&=1\end{aligned}$

이므로, 원래 급수는 수렴한다.

급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}\right)}$를 생각하자. 이를 조화급수와 비교하면

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(1+1/n)}{1/n}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {(\ln(1+x))'}{x'}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1/(1+x)}{1}\\&=1\end{aligned}$

을 얻는다. 조화급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}$는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다.

마찬가지로, 급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {1}{n}$는

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sin(1/n)}{1/n}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {(\sin x)'}{x'}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}\\&=1\end{aligned}$

이므로 발산한다.

급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}$를 생각하자. 급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}$는 수렴한다. (적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 사용할 수 있다.) 두 급수의 항의 비의 극한은

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1/(n^{2}+2n)}{1/n^{2}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}{n^{2}+2n}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n+2}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+2/n}\\&={\frac {1}{1+0}\\&=1\end{aligned}$

이다. 극한 비교 판정법에 따라, 원래 급수는 수렴한다.

급수 ${\displaystyle \sum _{n=3}^{\infty }\ln \cos {\frac {\pi }{n}$를 생각하자. (이는 음의 실수 항들로 이루어진다.) 0으로 수렴하는 두 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }$ 및 ${\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }$에 대하여, 편의상

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}{b_{n}=1}$

을 ${\displaystyle a_{n}\sim b_{n}$으로 쓰자. 그렇다면,

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \cos {\frac {\pi }{n}&=\ln(1+\cos {\frac {\pi }{n}-1)\\&\sim \cos {\frac {\pi }{n}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{2n}\\&\sim -{\frac {\pi ^{2}{2n^{2}\end{aligned}$

이다. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}$이 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다.

• 수렴판정법
• 비교 판정법

• Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817. 

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limi comparison test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.