극한 주기 궤도

동역학계 이론에서 극한 주기 궤도(極限週期軌道, 영어: limit cycle)는 주기 궤도 가운데 적어도 하나 이상의 다른 궤도의 극한 집합을 이루는 것이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 연속 시간 동역학계

${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \times X\to X}$

${\displaystyle \forall x\in X\colon \phi (0,x)=x}$

${\displaystyle \forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \forall x\in X\colon \phi (t_{1},\phi (t_{2},x))=\phi (t_{1}+t_{2},x)}$

위의, 초기 조건 ${\displaystyle x\in X}$의 궤도(軌道, 영어: orbit)는 다음과 같은 꼴의 집합이다.

${\displaystyle \gamma (x)=\{\phi (t,x)\colon t\in \mathbb {R} \}$

이 동역학계의 주기 궤도(週期軌道, 영어: periodic orbit, cycle)는 다음 조건을 만족시키는 초기 조건 ${\displaystyle x}$에 대한 궤도이다.

${\displaystyle \exists t\neq 0\colon \phi (t,x)=x}$

극한 주기 궤도는 다음 조건을 만족시키는 주기 궤도 ${\displaystyle \gamma (x)}$이다.

• ${\displaystyle \omega _{\pm }(y)=\gamma (x)}$가 되는 ${\displaystyle y\in X\setminus \gamma (x)}$가 존재한다.

여기서 ${\displaystyle \omega _{\pm }$은 안정 또는 불안정 극한 집합이다.

극한 주기 궤도 ${\displaystyle \gamma (x)}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 ${\displaystyle U\supset \gamma (x)}$이 존재한다면, ${\displaystyle \gamma (x)}$를 안정 극한 주기 궤도(安定極限週期軌道, 영어: stable limit cycle)이라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle y\in U}$에 대하여, ${\displaystyle \omega _{+}(y)=\gamma (x)}$

극한 주기 궤도 ${\displaystyle \gamma (x)}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 ${\displaystyle U\supset \gamma (x)}$이 존재한다면, ${\displaystyle \gamma (x)}$를 불안정 극한 주기 궤도(不安定極限週期軌道, 영어: unstable limit cycle)이라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle y\in U}$에 대하여, ${\displaystyle \omega _{-}(y)=\gamma (x)}$

그러나 안정 극한 주기 궤도도, 불안정 극한 주기 궤도도 아닌 극한 주기 궤도가 존재한다. 안정 극한 주기 궤도는 끌개의 예이다.

참고 문헌

• Moehlis, Jeff; Josic, Kresimir; Shea-Brown, Eric T. “Periodic orbit”. 《Scholarpedia》 (영어) 1 (7): 1358. doi:10.4249/scholarpedia.1358. ISSN 1941-6016. 
• Robinett, Rush D., III; Wilson, David G. (2008). “What is a limit cycle?”. 《International Journal of Control》 (영어) 81 (12): 1886–1900. doi:10.1080/00207170801927163. 

외부 링크

• “Limit cycle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit cycle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 평형점
• 끌개
• 푸앵카레-벤딕손 정리
• 호프 분기