내적 범주

범주론에서 내적 범주(內的範疇, 영어: internal category)는 작은 범주의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. 작은 범주의 개념의 일반화이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}$가 유한 곱 및 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {C}$ 속의 내적 범주(영어: internal category) ${\displaystyle (O,M,i,s,t,c)}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle O\in {\mathcal {C}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
• ${\displaystyle M\in {\mathcal {C}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
• ${\displaystyle e\colon O\to M}$은 ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• ${\displaystyle s\colon M\to O}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
• ${\displaystyle t\colon M\to O}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
• ${\displaystyle M_{s}\times _{t}M}$이 ${\displaystyle M{\xrightarrow {s}O{\xleftarrow {t}M}$의 당김이라면, ${\displaystyle c\colon M_{s}\times _{t}M\to M}$은 ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등 사상의 정의역과 공역) ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=\operatorname {id} _{O}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xleftarrow {e}&O&{\xrightarrow {e}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow &\downarrow \scriptstyle {\operatorname {id} _{O}&\swarrow \scriptstyle t\\&&O\end{matrix}$

• (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xleftarrow {\pi _{1}&M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow {\pi _{2}&M\\{\scriptstyle t}\downarrow &&{\scriptstyle c}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle s\\O&{\xleftarrow[{t}]{}&M&{\xrightarrow[{s}]{}&O\end{matrix}$

• (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{s}\times _{t}M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{M}\times c}&M_{s}\times _{t}M\\{\scriptstyle c\times \operatorname {id} _{M}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle c\\M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow[{c}]{}&M\end{matrix}$

• (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}O\times _{t}M&{\xrightarrow {e\times _{t}\operatorname {id} _{M}&M_{s}\times _{t}M&{\xleftarrow {\operatorname {id} _{M}{}_{s}\times e}&M\times _{s}O\\&{\scriptstyle \pi _{2}\searrow &\downarrow \scriptstyle c&\swarrow \scriptstyle \pi _{1}\\&&M\end{matrix}$

유한 곱과 당김을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}$ 속의 내적 준군(영어: internal groupoid) ${\displaystyle (O,M,s,t,e,i)}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle (O,M,s,t,e)}$는 내적 범주를 이룬다.
• ${\displaystyle i\colon M\to M}$은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {e} \atop {\xleftarrow[{e}]{}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow &\downarrow \scriptstyle t\\&&O\end{matrix}$

• (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{t}\times _{t}M&{\xleftarrow {\operatorname {diag} _{M}&M\\{\scriptstyle i\times \operatorname {id} }\downarrow &&&\searrow \scriptstyle s&\\M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow[{c}]{}&M&{\xleftarrow[{e}]{}&O\\{\scriptstyle \operatorname {id} \times i}\uparrow &&&\nearrow \scriptstyle t&\\M_{s}\times _{s}M&{\xleftarrow[{\operatorname {diag} _{M}]{}&M\\\end{matrix}$

집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ 속의 내적 범주는 작은 범주이다.

군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$ 속의 내적 범주는 작은 범주의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$ 속의 군 대상과 사실상 같으며,^[1]:269 교차 가군(영어: crossed module)이라고 불린다.^{[1]:285–287}

• “Internal category”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 12일에 확인함. 

• 군 대상