단조 수렴 정리

임의의 ${\displaystyle a\in [0,\infty ]}$에 대하여, 각 ${\displaystyle f_{n}$이 가측 함수이므로, ${\displaystyle f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma }$이며, 따라서

${\displaystyle f^{-1}([0,a])=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma }$

이다. 즉, ${\displaystyle f}$는 가측 함수이다.

임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle \forall x\in X\colon f_{n}(x)\leq f(x)}$이므로,

${\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu }$

이며, 이에 ${\displaystyle n\to \infty }$을 취하면

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu }$

을 얻는다.

이제, ${\displaystyle \forall x\in X\colon s(x)\leq f(x)}$인 임의의 단순 함수 ${\displaystyle s}$와 임의의 ${\displaystyle 0<\alpha <1}$을 고정하고, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여

${\displaystyle A_{n}=\{x\in X\colon \alpha s(x)\leq f_{n}(x)\}\in \Sigma }$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots }$이며, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여,

${\displaystyle \alpha \int _{A_{n}sd\mu \leq \int _{A_{n}f_{n}d\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu }$

이다. ${\displaystyle n\to \infty }$을 취하면

${\displaystyle \alpha \int _{X}sd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu }$

를 얻는다. 이는

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}a_{i}1_{S_{i}\qquad (a_{i}\in [0,\infty ),\;S_{i}\in \Sigma )}$

라고 할 때

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A_{n}sd\mu =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mu (S_{i}\cap A_{n})=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mu (S_{i}\cap X)=\int _{X}sd\mu }$

이기 때문이다. 이제 ${\displaystyle \alpha \to 1}$을 취하면

${\displaystyle \int _{X}sd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu }$

를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

${\displaystyle \int _{X}fd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu }$

이다.

임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \subseteq \Sigma }$에 대하여, 각 ${\displaystyle f1_{A_{n}$은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

${\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}\right)=\int _{X}f1_{\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}d\mu =\int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\nu (A_{n})}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \nu }$는 측도이다.

만약 ${\displaystyle A\in \Sigma }$이며 ${\displaystyle \mu (A)=0}$이라면, ${\displaystyle \mu }$-거의 어디서나 ${\displaystyle f1_{A}=0}$이므로,

${\displaystyle \nu (A)=\int f1_{A}d\mu =0}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \nu }$는 ${\displaystyle \mu }$-절대 연속 측도이다.