단체 리 대수

호모토피 이론에서 단체 리 대수(單體Lie代數, 영어: simplicial Lie algebra)는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.^[1]:§Ⅰ.4

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle K}$-단체 리 대수는 ${\displaystyle K}$-리 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}$ 속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle K}$-리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}_{n}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}_{\bullet }$ 위의 단체 집합 구조 ${\displaystyle \partial _{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}_{n}\to {\mathfrak {g}_{n-1}$, ${\displaystyle s_{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}_{n}\to {\mathfrak {g}_{n+1}$. 또한, 함수들은 모두 ${\displaystyle K}$-리 대수 준동형이어야 한다.

단체 리 대수의 범주에서, ${\displaystyle K}$-리 대수 → ${\displaystyle K}$-가군 망각 함자

${\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}$

를 통해, 망각 함자

${\displaystyle [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K}]\simeq \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})}$

를 정의할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})}$는 자연수 등급의 ${\displaystyle K}$-가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를

${\displaystyle \mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})}$

라고 하자.

${\displaystyle K}$가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}_{\bullet }$에 대하여, 사슬 복합체 ${\displaystyle (\mathrm {N} {\mathfrak {g})_{\bullet }$ 위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {g}\otimes _{K}\mathrm {N} {\mathfrak {g}\to \mathrm {N} ({\mathfrak {g}\otimes _{K}{\mathfrak {g})\to \mathrm {N} {\mathfrak {g}$

여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다.

그렇다면, ${\displaystyle (\mathrm {N} {\mathfrak {g})_{\bullet }$는 ${\displaystyle K}$-미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자

${\displaystyle \operatorname {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} _{K}$

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle \operatorname {N} ^{*}\colon \operatorname {dgLieAlg} _{K}\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\colon \operatorname {N} }$

를 가진다. 구체적으로,

${\displaystyle \operatorname {N} ^{*}{\mathfrak {g}={\frac {\operatorname {Free_{LieAlg} (\mathrm {N} ^{-1}{\mathfrak {g})}{\mathfrak {I}$

이다. 여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Free_{LieAlg} \colon \operatorname {Mod} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}$는 자유 리 대수 함자이다.
• ${\displaystyle (\operatorname {Free_{LieAlg} \circ )\colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]}$는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}$는 ${\displaystyle \{[[\mathrm {N} ^{-1}x,\mathrm {N} ^{-1}y]]-\mathrm {N} ^{-1}[x,y]\colon x\in {\mathfrak {g}_{m},\,y\in {\mathfrak {g}_{n}\}$로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다.
  • 여기서 ${\displaystyle [[-,-]]\colon \mathrm {g} _{m}\otimes {\mathfrak {g}_{n}\to {\mathfrak {g}_{m+n}$은 에일렌베르크-질버 사상 ${\displaystyle {\mathfrak {g}_{m}\otimes {\mathfrak {g}_{n}\to ({\mathfrak {g}\otimes {\mathfrak {g})_{m+n}$을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}\otimes {\mathfrak {g})_{m+n}\to {\mathfrak {g}_{m+n}$를 취한 것이다.

표수 0의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 단체 리 대수의 범주 ${\displaystyle [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]}$ 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

• 올뭉치는 칸 올뭉치(즉, 단체 집합의 모형 범주의 올뭉치)이다.
• 약한 동치는 단체 집합의 약한 동치(즉, 기하학적 실현에 대한 약한 호모토피 동치)이다.

또한, 이에 따라 함자 ${\displaystyle \mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} _{K}$는 퀼런 동치를 이룬다.

• 미분 등급 리 대수

• “Simplicial Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on simplicial Lie algebras”. 《nLab》 (영어).