라그랑주 정리 (군론)

군론에서 라그랑주 정리(영어: Lagrange’s theorem)는 유한군의 부분군의 크기가 원래 군의 크기의 약수라는 정리다.^{[1]:100, §II.10, Theorem 10.10[2]:12, §I.3, Proposition 2.2[3]:30, §2.3, Theorem 2.27}

임의의 군 ${\displaystyle G}$ 및 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

여기서 ${\displaystyle |G:H|}$는 ${\displaystyle H}$의 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다), ${\displaystyle |G:H|}$와 ${\displaystyle |H|}$ 사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히, ${\displaystyle G}$가 유한군일 경우, ${\displaystyle |H|}$는 ${\displaystyle |G|}$의 약수이다.

보다 일반적으로, 군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$과 이에 대한 부분군 ${\displaystyle K\leq H}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |G:K|=|G:H||H:K|}$

라그랑주 정리는 (${\displaystyle G}$가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리와 동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

우선, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle |gH|=|H|}$이다. 이는 함수

${\displaystyle H\to gH}$

${\displaystyle h\mapsto gh\qquad (h\in H)}$

가 전단사 함수이기 때문이다.

또한 ${\displaystyle H}$의 왼쪽 잉여류들의 집합 ${\displaystyle G/H}$는 ${\displaystyle G}$의 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 ${\displaystyle g,g'\in G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle gH\cap g'H\neq \varnothing }$이라면, ${\displaystyle g''\in gH\cap g'H}$인 ${\displaystyle g''\in G}$가 존재한다.

${\displaystyle g''=gh=g'h'}$

인 ${\displaystyle h,h'\in H}$를 취하면

${\displaystyle gH=ghH=g''H=g'h'H=g'H}$

이다. 이에 따라, ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle G/H}$ 속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 ${\displaystyle A\in G/H}$에 대하여, ${\displaystyle g_{A}\in A}$인 군의 원소 ${\displaystyle g_{A}\in G}$를 취하는 함수 ${\displaystyle g_{\bullet }\colon G/H\to G}$가 존재하며, 이 경우 임의의 ${\displaystyle A\in G/H}$에 대하여 ${\displaystyle A=g_{A}H}$이다. (${\displaystyle G}$가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

${\displaystyle |G|=\sum _{A\in G/H}|A|=\sum _{A\in G/H}|g_{A}H|=\sum _{A\in G/H}|H|=|G:H||H|}$

가 성립한다.

만약 ${\displaystyle G}$가 유한군이라면, 위 등식의 ${\displaystyle |G|}$, ${\displaystyle |G:H|}$, ${\displaystyle |H|}$는 모두 양의 정수이므로, ${\displaystyle |H|}$는 ${\displaystyle |G|}$의 약수가 된다.

유한군 ${\displaystyle G}$의 임의의 원소 ${\displaystyle g\in G}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle g}$의 위수 ${\displaystyle \operatorname {ord} g}$는 ${\displaystyle |G|}$의 약수이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {ord} g}$가 순환 부분군 ${\displaystyle \langle g\rangle \leq G}$의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 ${\displaystyle g^{|G|}=1_{G}$가 성립한다. 여기서 ${\displaystyle 1_{G}$는 ${\displaystyle G}$의 항등원이다. 이를 이용하면 페르마 소정리나 오일러 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$과 서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수 ${\displaystyle \phi }$에 대하여 ${\displaystyle \phi (n)}$이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, ${\displaystyle |G|=p}$가 소수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle g\neq 1_{G}$인 ${\displaystyle g\in G}$를 취할 수 있으며, ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid p}$이므로 ${\displaystyle \operatorname {ord} g=1}$이거나 ${\displaystyle \operatorname {ord} g=p}$이다. 그러나 ${\displaystyle g\neq 1_{G}$이므로 ${\displaystyle \operatorname {ord} g\neq 1}$이므로 ${\displaystyle \operatorname {ord} g=p}$이며, 즉 ${\displaystyle G=\langle g\rangle }$는 ${\displaystyle g}$로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여, ${\displaystyle |H|=1}$이거나 ${\displaystyle |H|=p}$이며, 만약 ${\displaystyle |H|=1}$이라면 ${\displaystyle H=\{1_{G}\}$, 만약 ${\displaystyle |H|=p}$라면 ${\displaystyle H=G}$이다. 즉, ${\displaystyle G}$는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 ${\displaystyle G}$는 단순군이다.

유한군 ${\displaystyle G}$와 양의 정수 ${\displaystyle d}$가 주어졌고, ${\displaystyle d}$가 ${\displaystyle |G|}$의 약수라고 할 때, 크기가 ${\displaystyle d}$인 ${\displaystyle G}$의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (4)}$의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, ${\displaystyle \operatorname {Alt} (4)}$는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다.^{[1]:145, §III.15, Example 15.6} 그러나, 쉴로브 정리에 따르면, ${\displaystyle d}$가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 ${\displaystyle d}$인 ${\displaystyle G}$의 부분군은 항상 존재한다.

라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다.^[4] 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다.^[5] 이 정리는 이후에 코시 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

• “Lagrange theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lagrange's group theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.