모듈라이 공간

대수기하학에서 모듈라이 공간(moduli空間, 영어: moduli space)은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학의 분류 공간과 유사한 개념이다.

스킴을 집합으로 대응시키는 함자 ${\displaystyle F\colon \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$가 주어졌다고 하자. 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간(영어: fine moduli space) ${\displaystyle (M,\tau )}$은 ${\displaystyle F}$의 표현이다. 즉,

• ${\displaystyle M\in \operatorname {Sch} }$은 스킴이다.
• ${\displaystyle \tau \colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)}$는 자연 동형이다.

이 정의는 다음과 같이 해석한다.

• 함자 ${\displaystyle F(B)}$는 어떤 밑공간 ${\displaystyle B}$ 위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
• ${\displaystyle \tau }$는 ${\displaystyle B}$ 위에 존재하는 공간족들이 사상 ${\displaystyle B\to M}$과 대응한다는 것을 의미한다. 즉, ${\displaystyle B}$ 위의 임의의 공간족은 사상 ${\displaystyle B\to M}$으로 인한, ${\displaystyle M}$ 위의 보편 공간족(영어: universal family)의 당김으로 유도된다.

함자 ${\displaystyle F\colon \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$의 거친 모듈라이 공간(영어: coarse moduli space) ${\displaystyle (M,\tau )}$은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.

• ${\displaystyle M\in \operatorname {Sch} }$은 스킴이다.
• ${\displaystyle \tau \colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)}$는 자연 변환이다.
• 모든 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 함수 ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Spec} K}\colon F(\operatorname {Spec} K)\to \hom _{\operatorname {Sch} }(\operatorname {Spec} K,M)}$은 전단사 함수이다.
• 임의의 스킴 ${\displaystyle {\tilde {M}$ 및 자연 변환 ${\displaystyle {\tilde {\tau }\colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,{\tilde {M})}$에 대하여, ${\displaystyle {\tilde {\tau }=\sigma \circ \tau }$인 자연 변환 ${\displaystyle \sigma \colon \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,{\tilde {M})}$이 존재한다.

이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.

일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.

어떤 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 그라스만 다양체 ${\displaystyle G(n,V)}$는 ${\displaystyle V}$의 (원점을 지나는) ${\displaystyle n}$차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다. ${\displaystyle n=1}$인 경우, 이는 사영 공간으로 불린다.

저우 다양체 ${\displaystyle \operatorname {Chow} (d,\mathbb {P} ^{3})}$는 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}$ 속의 차수 ${\displaystyle d}$의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

종수가 ${\displaystyle g}$인 비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를 ${\displaystyle {\mathcal {M}_{g}$라고 한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수 ${\displaystyle g}$의 안정 곡선들의 모듈라이 스택 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}_{g}$를 얻는다. 물론 종수가 ${\displaystyle g}$인 비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.

• 모듈러스 (물리학)
• 표현 가능 함자

• Harris, Joe; Ian Morrison (1998). 《Moduli of Curves》 (영어). Springer. ISBN 0-387-98429-1.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

• “Moduli space”. 《nLab》 (영어). 
• van Tuyll, Edgar. “Moduli space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.