6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다.
기하학 에서 몰리 삼등분 정리 (Morley 三等分定理, 영어 : Morley's trisector theorem )는 삼각형 의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선 의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형 의 꼭짓점을 이룬다.
정의
삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 각
∠
B
{\displaystyle \angle B}
와
∠
C
{\displaystyle \angle C}
의 변
B
C
{\displaystyle BC}
와 더 가까운 삼등분선 의 교점이
X
{\displaystyle X}
라고 하자. 마찬가지로 각
∠
A
{\displaystyle \angle A}
와
∠
C
{\displaystyle \angle C}
의 변
A
C
{\displaystyle AC}
와 더 가까운 삼등분선의 교점이
Y
{\displaystyle Y}
라고 하고, 각
∠
A
{\displaystyle \angle A}
와
∠
B
{\displaystyle \angle B}
의 변
A
B
{\displaystyle AB}
와 가까운 삼등분선의 교점이
Z
{\displaystyle Z}
라고 하자. 몰리 삼등분 정리 에 따르면, 삼각형
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
는 정삼각형 이다. 삼각형
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
를 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 몰리 삼각형 (Morley 三角形, 영어 : Morley triangle )이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
증명
초등적 증명
정삼각형
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
를 고정하자.[1] :82-85, §2G 임의의 삼각형
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle A'B'C'}
에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
를 찾는 것으로 족하다.
삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
와
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle A'B'C'}
은 서로 닮음 이다.
삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 몰리 삼각형은 삼각형
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
이다.
우선
∠
A
′
=
3
α
,
∠
B
′
=
3
β
,
∠
C
′
=
3
γ
{\displaystyle \angle A'=3\alpha ,\;\angle B'=3\beta ,\;\angle C'=3\gamma }
이라고 하자. 그렇다면
α
+
β
+
γ
=
60
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }
이다. 삼각형
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
외부의 세 점
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
를 다음과 같이 정의하자.
∠
B
Z
X
=
∠
C
Y
X
=
60
∘
+
α
{\displaystyle \angle BZX=\angle CYX=60^{\circ }+\alpha }
∠
C
X
Y
=
∠
A
Z
Y
=
60
∘
+
β
{\displaystyle \angle CXY=\angle AZY=60^{\circ }+\beta }
∠
A
Y
Z
=
∠
B
X
Z
=
60
∘
+
γ
{\displaystyle \angle AYZ=\angle BXZ=60^{\circ }+\gamma }
그렇다면
∠
Y
A
Z
=
α
,
∠
X
B
Z
=
β
,
∠
X
C
Y
=
γ
{\displaystyle \angle YAZ=\alpha ,\;\angle XBZ=\beta ,\;\angle XCY=\gamma }
이다. 이제
A
Y
{\displaystyle AY}
와
A
Z
{\displaystyle AZ}
,
B
X
{\displaystyle BX}
와
B
Z
{\displaystyle BZ}
,
C
X
{\displaystyle CX}
와
C
Y
{\displaystyle CY}
가 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선
B
Z
{\displaystyle BZ}
와
C
Y
{\displaystyle CY}
의 교점이
U
{\displaystyle U}
라고 하고, 직선
A
Z
{\displaystyle AZ}
와
C
X
{\displaystyle CX}
의 교점이
V
{\displaystyle V}
라고 하고, 직선
A
Y
{\displaystyle AY}
와
B
X
{\displaystyle BX}
의 교점을
W
{\displaystyle W}
라고 하자. 그렇다면
∠
U
Y
Z
=
∠
U
Z
Y
=
60
∘
−
α
{\displaystyle \angle UYZ=\angle UZY=60^{\circ }-\alpha }
이므로
U
Y
=
U
Z
{\displaystyle UY=UZ}
이며, 삼각형
△
U
Y
X
{\displaystyle \triangle UYX}
와
△
U
Z
X
{\displaystyle \triangle UZX}
는 서로 합동 이다. 특히, 반직선
U
X
{\displaystyle UX}
는 각
∠
U
{\displaystyle \angle U}
의 이등분선 이다. 또한,
∠
B
U
C
=
180
∘
−
∠
U
Y
Z
−
∠
U
Z
Y
=
60
∘
+
2
α
{\displaystyle \angle BUC=180^{\circ }-\angle UYZ-\angle UZY=60^{\circ }+2\alpha }
∠
B
X
C
=
180
∘
−
∠
C
X
W
=
120
∘
+
γ
{\displaystyle \angle BXC=180^{\circ }-\angle CXW=120^{\circ }+\gamma }
이므로,
∠
B
X
C
=
90
∘
+
1
2
∠
B
U
C
{\displaystyle \angle BXC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}\angle BUC}
이다. 즉,
X
{\displaystyle X}
는 삼각형
△
B
C
U
{\displaystyle \triangle BCU}
의 내심 이며, 반직선
B
X
{\displaystyle BX}
와
C
X
{\displaystyle CX}
는 각
∠
C
B
U
{\displaystyle \angle CBU}
와
∠
B
C
U
{\displaystyle \angle BCU}
의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선
A
Y
{\displaystyle AY}
와
C
Y
{\displaystyle CY}
는 삼각형
△
A
C
V
{\displaystyle \triangle ACV}
의 두 각의 이등분선이며, 반직선
A
Z
{\displaystyle AZ}
와
B
Z
{\displaystyle BZ}
는 삼각형
△
A
B
W
{\displaystyle \triangle ABW}
의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
는 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 몰리 삼각형이다. 또한,
∠
B
A
C
=
3
α
=
∠
A
′
{\displaystyle \angle BAC=3\alpha =\angle A'}
∠
A
B
C
=
3
β
=
∠
B
′
{\displaystyle \angle ABC=3\beta =\angle B'}
∠
A
C
B
=
3
γ
=
∠
C
′
{\displaystyle \angle ACB=3\gamma =\angle C'}
이므로, 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
와
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle A'B'C'}
은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle A'B'C'}
의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.
삼각법을 통한 증명
몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.[2] :43-44, §10.2 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 외접원 의 반지름이
R
{\displaystyle R}
라고 하고,
∠
B
A
C
=
3
α
,
∠
A
B
C
=
3
β
,
∠
A
C
B
=
3
γ
{\displaystyle \angle BAC=3\alpha ,\;\angle ABC=3\beta ,\;\angle ACB=3\gamma }
라고 하자. 그렇다면
α
+
β
+
γ
=
60
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }
이다. 삼각형
△
B
C
X
{\displaystyle \triangle BCX}
에 사인 법칙 을 적용하면
C
X
=
B
C
⋅
sin
β
sin
(
180
∘
−
β
−
γ
)
=
2
R
sin
3
α
sin
β
sin
(
60
∘
−
α
)
=
8
R
sin
α
sin
β
sin
(
60
∘
+
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}CX&={\frac {BC\cdot \sin \beta }{\sin(180^{\circ }-\beta -\gamma )}\\&={\frac {2R\sin 3\alpha \sin \beta }{\sin(60^{\circ }-\alpha )}\\&=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\alpha )\end{aligned}
를 얻는다. 마지막 등호는 항등식
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
=
4
sin
α
(
(
3
2
)
2
−
sin
2
α
)
=
4
sin
α
(
sin
60
∘
+
sin
α
)
(
sin
60
∘
−
sin
α
)
=
4
sin
α
⋅
2
sin
60
∘
+
α
2
cos
60
∘
−
α
2
⋅
2
sin
60
∘
−
α
2
cos
60
∘
+
α
2
=
4
sin
α
sin
(
60
∘
+
α
)
sin
(
60
∘
−
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3\alpha &=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \\&=4\sin \alpha \left(\left({\frac {\sqrt {3}{2}\right)^{2}-\sin ^{2}\alpha \right)\\&=4\sin \alpha (\sin 60^{\circ }+\sin \alpha )(\sin 60^{\circ }-\sin \alpha )\\&=4\sin \alpha \cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}\cos {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}\cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}\cos {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}\\&=4\sin \alpha \sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }-\alpha )\end{aligned}
때문이다. 마찬가지로,
C
Y
=
8
R
sin
α
sin
β
sin
(
60
∘
+
β
)
{\displaystyle CY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )}
가 성립한다. 삼각형
△
C
X
Y
{\displaystyle \triangle CXY}
에 코사인 법칙 을 적용하면
X
Y
2
=
C
X
2
+
C
Y
2
−
2
C
X
⋅
C
Y
⋅
sin
γ
=
64
R
2
sin
2
α
sin
2
β
(
sin
2
(
60
∘
+
α
)
+
sin
2
(
60
∘
+
β
)
−
2
sin
(
60
∘
+
α
)
sin
(
60
∘
+
β
)
cos
γ
)
=
64
R
2
sin
2
α
sin
2
β
sin
2
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}XY^{2}&=CX^{2}+CY^{2}-2CX\cdot CY\cdot \sin \gamma \\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta (\sin ^{2}(60^{\circ }+\alpha )+\sin ^{2}(60^{\circ }+\beta )-2\sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }+\beta )\cos \gamma )\\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma \end{aligned}
를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가
60
∘
+
α
{\displaystyle 60^{\circ }+\alpha }
와
60
∘
+
β
{\displaystyle 60^{\circ }+\beta }
및
γ
{\displaystyle \gamma }
인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,
X
Y
=
8
R
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle XY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
이다. 이는
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
에 대하여 대칭적이므로,
X
Y
=
X
Z
=
Y
Z
{\displaystyle XY=XZ=YZ}
가 성립한다.
역사
미국 의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.[3]
같이 보기
각주
외부 링크