바탈린-빌코비스키 대수

이론물리학과 수학에서 바탈린-빌코비스키 대수(영어: Batalin–Vilkovisky algebra)는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.^{[1][2][3][4][5]}

(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}$

${\displaystyle ab=(-)^{\deg a\deg b}ba}$

가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자

${\displaystyle {\mathsf {L}_{a}b=ab}$

및 초괄호

${\displaystyle [a,b\}=ab-(-)^{\deg a\deg b}ba}$

를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자

${\displaystyle D\colon A_{\bullet }\to A_{\bullet _{k}$

${\displaystyle \deg D=k}$

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 ${\displaystyle n}$차 ${\displaystyle k}$등급 미분 연산자(영어: ${\displaystyle n}$th-order degree-${\displaystyle k}$ operator)라고 한다.

${\displaystyle D(1_{A})=0}$

${\displaystyle [\dotso [[D,{\mathsf {L}_{a_{0}\},{\mathsf {L}_{a_{1}\},\dotsc ,{\mathsf {L}_{a_{n}\}(1_{A})=0\qquad \forall a_{0},\dotsc ,a_{k}\in A}$

여기서 초괄호에서 ${\displaystyle \deg {\mathsf {L}_{a}=\deg a}$ 및 ${\displaystyle \deg D=k}$로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우

${\displaystyle D1=0}$

인 것이다. 1차 미분 연산자는

${\displaystyle 0=[[D,{\mathsf {L}_{a}\},{\mathsf {L}_{b}\}1=D(ab)-(-)^{k\deg a}a(Db)-(-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da)}$

인 것이다. 즉,

${\displaystyle D(ab)=(Da)b+(-)^{k\deg a}a(Db)}$

이며, 이는 곱 규칙이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자 ${\displaystyle \Delta }$는

${\displaystyle \Delta (abc)-\Delta (ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta (bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta (ac)+\Delta (a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta (b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta (c)=0}$

를 만족시킨다.

등급 가환 결합 대수

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}$

및 ${\displaystyle A}$ 위의 사슬 복합체 구조

${\displaystyle \partial \colon A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}$

${\displaystyle \partial _{1}=0}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Phi ^{n+1}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})=[[\dotsb [[\partial ,{\mathsf {L}_{a_{0}\},{\mathsf {L}_{a_{1}\},\dotsc \},{\mathsf {L}_{a_{n}\}1}$

이를 ${\displaystyle n+1}$항 거스틴해버 괄호라고 한다. 예를 들어

${\displaystyle \Phi ^{0}()=0}$

${\displaystyle \Phi ^{1}(a)=\partial a}$

${\displaystyle \Phi ^{2}(a,b)=\partial (ab)-(-)^{\deg a}a\partial b-(\partial a)b}$

이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,

${\displaystyle (A,\Phi ^{\bullet })}$

는 L∞-대수를 이룬다.

물론, 만약 ${\displaystyle \partial }$이 ${\displaystyle n}$차 미분 연산자라면, 오직 ${\displaystyle \Phi ^{1},\dotsc ,\Phi ^{n}$만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 거스틴해버 괄호(영어: Gerstenhaber bracket) 또는 반괄호(영어: antibracket) ${\displaystyle (a,b)}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle (a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi ^{2}(a,b)}$

이는 다음과 같은 성질들을 따른다.

• (차수 −1) ${\displaystyle \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1}$
• (등급가환성) ${\displaystyle (a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)}$
• (등급 야코비 항등식) ${\displaystyle (-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0}$
• (등급 라이프니츠 규칙) ${\displaystyle (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)}$

바탈린-빌코비스키 대수 ${\displaystyle (A,\Delta )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[4]:§8

• 등급 가환 결합 대수 ${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}$
• ${\displaystyle A}$ 위의 2차 −1등급 미분 연산자 ${\displaystyle \Delta \colon A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}$. 이를 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 한다.

바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 ${\displaystyle \phi ^{i}$와 고전적 작용 ${\displaystyle S_{0}(\phi )}$에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.

${\displaystyle \delta \phi ^{i}=R_{\alpha _{1}^{i}\epsilon ^{\alpha _{1}$

여기서 ${\displaystyle \epsilon ^{i_{1}$는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.

${\displaystyle R_{i_{p+1}^{i_{p}R_{i_{p}^{i_{0}=C_{\alpha _{p+1}^{ij}{\frac {\delta S_{0}{\delta \phi ^{j_{0}$

이다. 여기서 ${\displaystyle C_{\alpha _{p+1}^{ij}$는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은

• 1차 게이지 변환 ${\displaystyle \delta \phi ^{i}/\delta \epsilon ^{\alpha _{1}$
• 2차 게이지 변환 ${\displaystyle \delta \epsilon ^{\alpha _{1}/\delta \epsilon ^{\alpha _{2}$
• 3차 게이지 변환 ${\displaystyle \delta \epsilon ^{\alpha _{2}/\delta \epsilon ^{\alpha _{3}$

등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 ${\displaystyle \delta /\delta \epsilon ^{\alpha _{p}$에 대응하는 유령장 ${\displaystyle c^{\alpha _{p}$을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 ${\displaystyle \phi ^{i}$에 대응하는 반대장(反對場, 영어: antifield) ${\displaystyle \phi _{i}^{*}$, ${\displaystyle c_{\alpha _{p}^{*}$를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, 영어: ghost number)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, ${\displaystyle p}$차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 ${\displaystyle p}$, 그리고 유령수 ${\displaystyle g}$에 대응하는 반대장은 유령수 ${\displaystyle -g-1}$을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

장	기호	통계 ${\displaystyle \sigma (\Phi ^{A})}$ (+1: 보손, −1: 페르미온)	유령수 ${\displaystyle \deg \Phi ^{A}$
물리적 장	${\displaystyle \phi ^{i}$	${\displaystyle \sigma (\phi ^{i})}$ (보손: +1, 페르미온: −1)	0
물리적 반대장	${\displaystyle \phi _{i}^{*}$	${\displaystyle -\sigma (\phi ^{i})}$	−1
유령장	${\displaystyle c^{\alpha _{p}$	${\displaystyle -\sigma (\epsilon ^{\alpha _{p})}$ (일반 대칭: −1, 초대칭: +1)	${\displaystyle p}$
유령 반대장	${\displaystyle c_{\alpha _{p}^{*}$	${\displaystyle \sigma (\epsilon ^{\alpha _{p})}$	${\displaystyle -p-1}$

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

모든 장들을 통칭해

${\displaystyle \Phi ^{A}=(\phi ^{i},c^{\alpha _{p})}$

${\displaystyle \Phi _{A}^{*}=(\phi _{i}^{*},c_{\alpha _{p}^{*})}$

로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Delta =(-1)^{\sigma (\Phi ^{A})}{\frac {\delta ^{L}{\delta \Phi ^{A}{\frac {\delta ^{L}{\delta \Phi _{A}^{*}$

또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle (X,Y)={\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi ^{A}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi _{A}^{*}-{\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi _{A}^{*}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi ^{A}.}$

이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 ${\displaystyle \delta ^{L}/\delta \Phi ^{A}$와 ${\displaystyle \delta ^{R}/\delta \Phi ^{A}$는 각각 좌·우미분이다.

고전적 작용 ${\displaystyle S_{0}(\phi ^{i})}$는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.

${\displaystyle S=S_{0}+S_{1}+S_{2}+\dots }$

여기서 ${\displaystyle S_{p}$는 ${\displaystyle p}$개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, ${\displaystyle S}$의 유령수는 0이다.

${\displaystyle \deg S=0}$

이렇게 교정된 작용 ${\displaystyle S}$는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식(영어: classical master equation)을 만족시킨다.

${\displaystyle (S,S)=0}$

이로부터 ${\displaystyle S}$를 완전히 계산할 수 있다. 이 경우, 이론의 BRST 대칭은

${\displaystyle \delta _{\text{BRST}=(S,\cdot )}$

의 꼴이다. 이 경우 자동적으로

${\displaystyle \delta _{\text{BRST}S=(S,S)=0}$

이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

${\displaystyle \delta _{\text{BRST}^{2}=0}$임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지

${\displaystyle H^{p}(\delta _{\text{BRST})}$

를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 ${\displaystyle H^{0}(\delta _{\text{BRST})}$의 원소이다. 고전적인 연산자 ${\displaystyle O_{0}$가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.

${\displaystyle O=O_{0}+O_{1}+O_{2}+\cdots }$

${\displaystyle \delta _{\text{BRST}O=(S,O)=0}$

유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 ${\displaystyle \psi }$를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온(영어: gauge-fixing fermion)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.^{[3]:§6[5]:§6.1}

${\displaystyle \Phi _{A}^{*}\mapsto {\frac {\delta \psi }{\delta \Phi ^{A}$

작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.^[5]:§6.2

양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은

${\displaystyle \Delta S=0}$

이다.^[3]:§6 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 ${\displaystyle \hbar }$에 비례하게 된다. 즉, ${\displaystyle S={\hat {S}^{(0)}$으로 놓으면,

${\displaystyle {\hat {S}={\hat {S}^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar ^{2}S^{(2)}+\cdots }$

이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식(영어: quantum master equation)은

${\displaystyle \Delta (\exp(i{\hat {S}/\hbar ))=0}$

이다.^[3]:§9 다음 표현은 위와 동치이다.

${\displaystyle ({\hat {S},{\hat {S})=2i\hbar \Delta {\hat {S}$

이다. 이를 전개하면

${\displaystyle ({\hat {S}^{(0)},{\hat {S}^{(0)})=0}$

${\displaystyle ({\hat {S}^{(0)},{\hat {S}^{(1)})=i\Delta {\hat {S}^{(0)}$

${\displaystyle ({\hat {S}^{(0)},{\hat {S}^{(2)})+{\frac {1}{2}({\hat {S}^{(1)},{\hat {S}^{(1)})=i\Delta {\hat {S}^{(1)}$

등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 ${\displaystyle X}$를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.^[5]:§6.1 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분

${\displaystyle \int \exp(iS/\hbar )}$

를 고려하면 양자 으뜸 방정식

${\displaystyle \Delta \exp(iS/\hbar )=0}$

이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 ${\displaystyle O}$가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로

${\displaystyle (W,O)=i\hbar \Delta O}$

가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, ${\displaystyle \exp(iS/\hbar )}$를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 ${\displaystyle D\Phi }$를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, ${\displaystyle D\Phi \,\exp(iS/\hbar )}$는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 ${\displaystyle \Delta }$이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 ${\displaystyle N}$ 위의 적분은

${\displaystyle \int _{N}\Delta X=0}$

이고, 또한 만약 ${\displaystyle \Delta Y=0}$이라면

${\displaystyle \int _{N}Y}$

는 ${\displaystyle N}$의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, ${\displaystyle N}$의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 ${\displaystyle D\Phi \,O\exp(iS/\hbar )}$가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

로런츠 지표는 ${\displaystyle \mu ,\nu ,\dots }$로, 게이지 리 대수 지표는 ${\displaystyle a,b,\dots }$로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 ${\displaystyle A_{\mu }^{a}$는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.

${\displaystyle \delta A_{\mu }^{a}=\partial _{\mu }\epsilon ^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}\epsilon ^{c}$

따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 ${\displaystyle c^{a}$ 및 반대장 ${\displaystyle \phi _{a}^{*}$, ${\displaystyle c_{a}^{*}$가 존재한다. 작용

${\displaystyle S_{0}=-{\frac {1}{4}\int d^{d}x\,F^{2}$

에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.^[5]:§5.2

${\displaystyle S=S_{0}+\int d^{d}x\,A_{a}^{*\mu }D_{\mu }c^{a}+{\frac {1}{2}\int d^{d}x\,c_{a}^{*}f^{a}{}_{bc}c^{b}c^{c}$

게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 ${\displaystyle {\bar {c}_{a}$와 유령수 0의 보손 ${\displaystyle b_{a}$를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.^[3]:§6

${\displaystyle S'=S-i\int d^{d}x\,{\bar {c}^{*a}b_{a}$

그렇다면 게이지 고정 페르미온

${\displaystyle \psi =i\int d^{d}x\,{\bar {c}_{a}\left(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)}$

를 삽입한다. 여기서 ${\displaystyle \xi }$는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.

${\displaystyle S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac {1}{4}F^{2}-i\partial ^{\mu }{\bar {c}_{a}D_{\mu }c^{a}+\left(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)b_{a}\right)}$

장	기호	통계	유령수
게이지 장	${\displaystyle A_{\mu }^{a}$	+	0
게이지 반대장	${\displaystyle A_{a}^{*\mu }$	−	−1
유령장	${\displaystyle c^{a}$	−	1
유령 반대장	${\displaystyle c_{a}^{*}$	+	−2
보조장	${\displaystyle b_{a}$	+	0
보조 반대장	${\displaystyle b_{a}^{*}$	−	−1
보조 유령장	${\displaystyle {\bar {c}^{a}$	−	−1
보조 유령 반대장	${\displaystyle {\bar {c}_{a}^{*}$	+	0

p차 미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜 ${\displaystyle A^{(p)}$는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.

${\displaystyle {\frac {\delta A^{(p)}{\delta \epsilon ^{(p-1)}=d\epsilon ^{(p-1)}$

${\displaystyle {\frac {\delta \epsilon ^{(p-1)}{\delta \epsilon ^{(p-2)}=d\epsilon ^{(p-2)}$

⋮

${\displaystyle {\frac {\delta \epsilon ^{(1)}{\delta \epsilon ^{(0)}=d\epsilon ^{(0)}$

여기서 ${\displaystyle \epsilon ^{(k)}$는 ${\displaystyle k}$차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

장	기호	통계	유령수
게이지 장	${\displaystyle A^{(p)}$	+	0
유령장	${\displaystyle c^{(k)}$	−	p−k
게이지 반대장	${\displaystyle A^{*(p)}$	−	−1
유령 반대장	${\displaystyle c^{*(k)}$	+	k−p−1

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.^[5]:§5.5

${\displaystyle S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac {1}{2}F^{(p+1)}\wedge *F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}+\sum _{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}\right)}$

이고리 아니톨리예비치 바탈린(러시아어: И́горь Анато́льевич Бата́лин)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(러시아어: Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다.^[6][7] 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

• 거스틴해버 대수

• Gwilliam, Owen; Theo Johnson-Freyd (2012). “How to derive Feynman diagrams for finite-dimensional integrals directly from the BV formalism” (영어). arXiv:1202.1554. Bibcode:2012arXiv1202.1554G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Schwarz, Albert (1993년 7월). “Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 155 (2): 249–260. arXiv:hep-th/9205088. Bibcode:1993CMaPh.155..249S. doi:10.1007/BF02097392. 
• Alexandrov, M.; M. Kontsevich, A. Schwarz, O. Zaboronsky (1997년 3월 20일). “The geometry of the master equation and topological quantum field theory”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 12 (7): 1405–1429. arXiv:hep-th/9502010. Bibcode:1997IJMPA..12.1405A. doi:10.1142/S0217751X97001031.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

• “BV-BRST formalism”. 《nLab》 (영어). 
• “What is the Batalin-Vilkovisky formalism, and what are its uses in mathematics?” (영어). MathOverflow.