반대칭 행렬
선형대수학 에서 반대칭행렬 (反對稱行列) 또는 비대칭행렬 (非對稱行列, 영어 : antisymmetric matrix, skew-symmetric matrix )은 전치행렬 이 덧셈 역원 과 같은 행렬 이다. 즉, 주대각선 의 원소는 0이며, 주대각선에 의하여 대칭인 위치에 있는 원소는 부호만 서로 반대이다. 실수 행렬에 대하여 주로 정의되며, 복소 행렬 의 반에르미트 행렬의 특수한 경우이다.
정의
실수 정사각 행렬
A
{\displaystyle A}
가 다음 조건을 만족시키면, 반대칭행렬 이라고 한다.
A
T
=
−
A
{\displaystyle A^{T}=-A}
즉, 임의의
1
≤
i
,
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}
에 대하여,
a
j
i
=
−
a
i
j
{\displaystyle a_{ji}=-a_{ij}
성질
반대칭행렬의 주대각선 상의 원소는 모두 0이다.
실수 반대칭행렬의 고윳값 은 모두 0이거나 순허수 이며, 실수 범위 내에서는 대각화 가 불가능하나, 복소수 범위 내에서는 유니타리 행렬 에 의한 대각화 가 가능하다.[1]
특수 선형군 에 속하는 행렬은 항상 반대칭행렬의 행렬 지수 함수 로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
=
exp
(
θ
(
0
−
1
1
0
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{pmatrix}=\exp \left(\theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\,0\end{pmatrix}\right)}
예
행렬
(
0
2
−
1
−
2
0
−
4
1
4
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}
은 반대칭 행렬이다.
같이 보기
각주
↑ 王美艳 (2008). “关于实反对称矩阵对角化问题的讨论” [실반대칭행렬의 대각화 문제에 대한 탐구]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 34-37.
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