베르누이의 렘니스케이트
베르누이의 렘니스케이트 기하학 에서 베르누이의 렘니스케이트 (영어 : lemniscate of Bernoulli )는 거리가 2a 인 두 초점F 1 , F 2 가 주어졌을 때 곡선상의 각각의 점 P 에 대해 PF 1 ·PF 2 = a 2 을 만족하는 평면곡선으로 정의된다. 이 곡선의 모양은 숫자 8 또는 기호 ∞ 와 유사하며 그 이름은 라틴어 : lemniscus 렘니스쿠스[* ] 에서 유래했는데 이는 “펜던트 리본”이라는 뜻이다. 이 곡선은 카시니의 난형선 의 특수한 경우이며 유리곡선이자 4차
대 수 곡선 이다.
(
x
2
+
y
2
)
2
=
2
a
2
(
x
2
−
y
2
)
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2}).\,}
극좌표 상에서는 :
r
=
a
2
cos
(
2
φ
)
{\displaystyle r=a{\sqrt {2\cos(2\varphi )}
매개변수 방정식 으로는 :
x
=
a
2
cos
(
t
)
sin
(
t
)
2
+
1
;
y
=
a
2
cos
(
t
)
sin
(
t
)
sin
(
t
)
2
+
1
{\displaystyle x={\frac {a{\sqrt {2}\cos(t)}{\sin(t)^{2}+1};\qquad y={\frac {a{\sqrt {2}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^{2}+1}
렘니스케이트는 타원 의 변형으로서 1694년 야코프 베르누이 에 의해 처음 고안되었다. 타원 은 두 초점으로부터 거리의 합 이 일정한 곡선이다. 반면에, 카시니의 난형선 은 두 초점으로부터 거리의 곱 이 일정한 곡선이다. 이때 이 곡선이 두 초점의 중점을 지나는 경우가 바로 베르누이의 렘니스케이트이다.
이 렘니스케이트 는 중심이 쌍곡선의 중심과 일치하는 반전원에 대한 쌍곡선의 반전형 으로도 얻을 수 있다.
렘니스케이트는 아래의 극좌표 방정식으로도 표현이 가능하다.
r
2
=
2
a
2
cos
2
θ
{\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta \,}
또는 아래의 쌍극좌표계 방정식으로도 표현된다.
r
r
′
=
a
2
2
{\displaystyle rr'={\frac {a^{2}{2}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
d
y
d
x
=
{
unbounded
if
y
=
0
and
x
≠
0
±
1
if
y
=
0
and
x
=
0
x
(
a
2
−
x
2
−
y
2
)
y
(
a
2
+
x
2
+
y
2
)
if
y
≠
0
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\begin{cases}{\mbox{unbounded}&{\mbox{if }y=0{\mbox{ and }x\neq 0\\\pm 1&{\mbox{if }y=0{\mbox{ and }x=0\\{\frac {x(a^{2}-x^{2}-y^{2})}{y(a^{2}+x^{2}+y^{2})}&{\mbox{if }y\neq 0\end{cases}
d
2
y
d
x
2
=
{
unbounded
if
y
=
0
and
x
≠
0
0
if
y
=
0
and
x
=
0
3
a
6
(
y
2
−
x
2
)
y
3
(
a
2
+
2
x
2
+
2
y
2
)
3
if
y
≠
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}={\begin{cases}{\mbox{unbounded}&{\mbox{if }y=0{\mbox{ and }x\neq 0\\0&{\mbox{if }y=0{\mbox{ and }x=0\\{\frac {3a^{6}(y^{2}-x^{2})}{y^{3}(a^{2}+2x^{2}+2y^{2})^{3}&{\mbox{if }y\neq 0\end{cases}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
d
x
d
y
=
{
unbounded
if
2
x
2
+
2
y
2
=
a
2
±
1
if
x
=
0
and
y
=
0
y
(
a
2
+
2
x
2
+
2
y
2
)
x
(
a
2
−
2
x
2
−
2
y
2
)
else
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}={\begin{cases}{\mbox{unbounded}&{\mbox{if }2x^{2}+2y^{2}=a^{2}\\\pm 1&{\mbox{if }x=0{\mbox{ and }y=0\\{\frac {y(a^{2}+2x^{2}+2y^{2})}{x(a^{2}-2x^{2}-2y^{2})}&{\mbox{else }\end{cases}
d
2
x
d
y
2
=
{
unbounded
if
2
x
2
+
2
y
2
=
a
2
0
if
x
=
0
and
y
=
0
3
a
6
(
x
2
−
y
2
)
x
3
(
a
2
−
2
x
2
−
2
y
2
)
3
else
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}={\begin{cases}{\mbox{unbounded}&{\mbox{if }2x^{2}+2y^{2}=a^{2}\\0&{\mbox{if }x=0{\mbox{ and }y=0\\{\frac {3a^{6}(x^{2}-y^{2})}{x^{3}(a^{2}-2x^{2}-2y^{2})^{3}&{\mbox{else }\end{cases}
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