보르수크-울람 정리

위상수학에서 보르수크-울람 정리(영어: Borsuk–Ulam theorem)는 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간으로 가는 연속함수의 경우, 대척점에서의 함수의 값이 일치하는 경우가 항상 존재한다는 정리이다.

보르수크-울람 정리에 따르면, 임의의 연속함수 ${\displaystyle f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$에 대하여,

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

인 점 ${\displaystyle x\in S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$이 존재한다. 여기서 ${\displaystyle -x}$는 ${\displaystyle x}$의 대척점이다.

이 정리는 스타니스와프 울람이 추측했고, 카롤 보르수크가 1933년 증명했다.^[1]

• Matoušek, Jiří (2003). 《Using the Borsuk–Ulam theorem: lectures on topological methods in combinatorics and geometry》. Universitext (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. Zbl 1234.05002. 
• Steinlein, H. (1985). 〈Borsuk’s antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey〉. 《Méthodes topologiques en analyse non linéaire》. Séminaire de Mathématiques Supérieures. Séminaire Scientifique OTAN (영어) 95. 166–235쪽. Zbl 0573.55003. 
• Su, Francis Edward (1997년 11월). “Borsuk–Ulam implies Brouwer: a direct construction” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 104 (9): 855–859. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Zbl 0884.54028. 2008년 10월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 10월 2일에 확인함. 
• Volovikov, Alexey Yu. (2008년 6월). “Borsuk–Ulam implies Brouwer: a direct construction revisited”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 115 (6): 553–556. JSTOR 27642536. Zbl 1158.55004. 

• “Borsuk fixed-point theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borsuk-Ulam theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Borsuk-Ulam theorem”. 《Topospaces》 (영어).