보바인 적분 (Borwein integral)은 수학자 데이비드 보바인과 조너선 보바인이 2001년 발표한 특이한 속성을 가진 적분 이다.[ 1]
s
i
n
c
(
x
)
=
sin
(
x
)
/
x
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)=\sin(x)/x}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
s
i
n
c
(
0
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1}
싱크함수 의 변형형인
s
i
n
c
(
a
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (ax)}
보바인 적분은 같은 패턴을 보이는 적분값이 어느 순간 패턴이 깨지고 전혀 다른 값으로 나오는 예시 중 하나이다.
싱크 함수의 양의 무한적분 값은 다음과 같다.
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}\,dx={\frac {\pi }{2}
여기서,
s
i
n
c
(
a
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (ax)}
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
2
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
d
x
=
π
2
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
sin
(
x
/
5
)
x
/
5
d
x
=
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}\,dx={\frac {\pi }{2}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\,dx={\frac {\pi }{2}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}\,dx={\frac {\pi }{2}\end{aligned}
이 함수의 적분값은 a를 13까지 늘렸을 때까지 일치한다.
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
13
)
x
/
13
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}\,dx={\frac {\pi }{2}.}
하지만, a값이 15를 넘어서게 되면 다음과 같이 패턴이 달라지게 된다.(OEIS 의 수열 A068214 )
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
15
)
x
/
15
d
x
=
467807924713440738696537864469
935615849440640907310521750000
π
=
π
2
−
6879714958723010531
935615849440640907310521750000
π
≈
π
2
−
2.31
×
10
−
11
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}
일반적으로, 3, 5, 7… 과 같이 붙은 a값의 역수들의 총 합이 1보다 작을 경우 적분값은 항상 π / 2 이다. 위의 예시의 경우, 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1 / 13 < 1,1 / 3 + 1 / 5 + … + 1 / 15 > 1.
싱크함수 앞에
2
cos
(
x
)
{\displaystyle 2\cos(x)}
∫
0
∞
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
111
)
x
/
111
d
x
=
π
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}\,dx={\frac {\pi }{2},}
하지만,
∫
0
∞
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
111
)
x
/
111
sin
(
x
/
113
)
x
/
113
d
x
<
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}\,dx<{\frac {\pi }{2}.}
이다.
위의 경우에는 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1 / 111 < 21 / 3 + 1 / 5 + … + 1 / 113 > 2
원래 싱크함수의 적분값과 그의 확장형값이 같다가 어느 순간 값이 달라지는 이유는 직관적인 수학적 설명으로 증명되었다.[ 2] [ 3] 무작위 행보 재규격화에서는 패턴이 깨지는 이유를 밝혀주며 여기에 여러 일반화까지 덧붙여진다.[ 4]
0이 아닌 실수 수열
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }
[ 1]
∫
0
∞
∏
k
=
0
n
sin
(
a
k
x
)
a
k
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}\,dx}
위 공식을 사용하러면
a
k
{\displaystyle a_{k}
γ
=
(
γ
1
,
γ
2
,
…
,
γ
n
)
∈
{
±
1
}
n
{\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}
±
1
{\displaystyle \pm 1}
튜플 이라면 위 식을
a
k
{\displaystyle a_{k}
b
γ
=
a
0
+
γ
1
a
1
+
γ
2
a
2
+
⋯
+
γ
n
a
n
{\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}
ε
γ
=
γ
1
γ
2
⋯
γ
n
{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}
±
1
{\displaystyle \pm 1}
푸리에 변환 을 이용해 위 표기법으로 싱크함수의 무한적분을 정리하면 다음과 같다.
∫
0
∞
∏
k
=
0
n
sin
(
a
k
x
)
a
k
x
d
x
=
π
2
a
0
C
n
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}C_{n}
여기서
C
n
=
1
2
n
n
!
∏
k
=
1
n
a
k
∑
γ
∈
{
±
1
}
n
ε
γ
b
γ
n
sgn
(
b
γ
)
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}
이다. (sgn은 부호함수 )
만약
a
0
>
|
a
1
|
+
|
a
2
|
+
⋯
+
|
a
n
|
{\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}
sgn
(
b
γ
)
=
sgn
(
a
0
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(b_{\gamma })=\operatorname {sgn}(a_{0})}
C
n
=
1
{\displaystyle C_{n}=1}
또한 각각의
k
=
0
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}
0
<
a
n
<
2
a
k
{\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
1
<
a
0
<
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
a
0
{\displaystyle a_{0}
n
{\displaystyle n}
k
=
0
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}
C
k
=
1
{\displaystyle C_{k}=1}
C
n
=
1
−
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
a
0
)
n
2
n
−
1
n
!
∏
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}
이 된다.
위의 설명 첫 예시를 예로 들면,
a
k
=
1
2
k
+
1
{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}
n
=
7
{\displaystyle n=7}
a
7
=
1
15
{\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+
1
11
+
1
13
≈
0.955
{\displaystyle {\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{9}+{\frac {1}{11}+{\frac {1}{13}\approx 0.955}
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+
1
11
+
1
13
+
1
15
≈
1.02
{\displaystyle {\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{9}+{\frac {1}{11}+{\frac {1}{13}+{\frac {1}{15}\approx 1.02}
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
13
)
x
/
13
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}\,dx={\frac {\pi }{2}
가 되지만,
n
=
15
{\displaystyle n=15}
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
15
)
x
/
15
d
x
=
π
2
(
1
−
(
3
−
1
+
5
−
1
+
7
−
1
+
9
−
1
+
11
−
1
+
13
−
1
+
15
−
1
−
1
)
7
2
6
⋅
7
!
⋅
(
1
/
3
⋅
1
/
5
⋅
1
/
7
⋅
1
/
9
⋅
1
/
11
⋅
1
/
13
⋅
1
/
15
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}\right)\end{aligned}
즉 위에서 나열한 값과 같다.
↑ 가 나 Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), “Some remarkable properties of sinc and related integrals”, 《The Ramanujan Journal》 5 (1): 73–89, doi :10.1023/A:1011497229317 , ISSN 1382-4090 , MR 1829810 ↑ Schmid, Hanspeter (2014), “Two curious integrals and a graphic proof” (PDF) , 《Elemente der Mathematik》 69 (1): 11–17, doi :10.4171/EM/239 , ISSN 0013-6018 ↑ Baez, John (2018년 9월 20일). “Patterns That Eventually Fail” . 《Azimuth》. 2019년 5월 21일에 원본 문서 에서 보존된 문서. ↑ Satya Majumdar; Emmanuel Trizac (2019), “When random walkers help solving intriguing integrals”, 《Physical Review Letters》 123 (2): 020201, arXiv :1906.04545 , Bibcode :2019arXiv190604545M , doi :10.1103/PhysRevLett.123.020201 , ISSN 1079-7114
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}\,dx={\frac {\pi }{2}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\,dx={\frac {\pi }{2}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}\,dx={\frac {\pi }{2}\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9670ee100344ef5d0de572a51754e9a34b5aa47)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8981fcdbb14e620e8bc862e1411c088ae5450fa7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}\right)\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a2ad2632cf40d6ce99f63e35a5a1b31dae0368)