산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명이다. PR은 중심이 O인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 a 와 b 의 산술 평균 이다. 사영 정리를 쓰면, 삼각형 PGR에서 PR을 밑변으로 할 때의 높이 GQ는 기하 평균 이다. a :b 의 비와 상관 없이, AO ≥ GQ 이다.
(x + y )2 ≥ 4xy 의 시각적인 증명이다. 양변에 제곱근 을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.[ 1]
수학 에서 산술-기하 평균 부등식 (算術幾何平均不等式, 영어 : arithmetic–geometric mean inequality )은 산술 평균 과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식 이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수 들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.
정의
음이 아닌 실수들
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0}
이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식 에 따르면, 다음이 성립한다.
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}
특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건 은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
=
x
1
x
2
⋯
x
n
n
⟺
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}
증명
귀납적 증명
음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0}
및 그 산술 평균
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
x
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
{\displaystyle x^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}
x
n
=
x
1
x
2
⋯
x
n
⟺
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x^{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}
이를 수학적 귀납법 으로 증명할 수 있다.
우선,
n
=
1
{\displaystyle n=1}
인 경우 이는 자명하게 성립한다.
그 다음,
n
{\displaystyle n}
에 대하여 성립한다는 가정 아래,
n
+
1
{\displaystyle n+1}
에 대한 산술-기하 평균 부등식
x
n
+
1
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}
x
n
+
1
=
x
1
x
2
⋯
x
n
+
1
⟺
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1}{n+1}
을 보이자.
만약
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
+
1
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}
라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면,
x
{\displaystyle x}
보다 큰 수와
x
{\displaystyle x}
보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며,
x
n
>
x
>
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n}>x>x_{n+1}
라고 하여도 무방하다. 그렇다면,
(
x
n
−
x
)
(
x
−
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle (x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0}
①
이다. 또한, 양의 실수
y
=
x
n
+
x
n
+
1
−
x
≥
x
n
−
x
>
0
{\displaystyle y=x_{n}+x_{n+1}-x\geq x_{n}-x>0}
를 정의하면, 다음에 따라,
x
{\displaystyle x}
는
n
{\displaystyle n}
개의 음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
,
y
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},y}
의 산술 평균이기도 하다.
n
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
+
x
n
+
1
−
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
y
{\displaystyle {\begin{aligned}nx&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+y\end{aligned}
귀납 가정에 따라,
x
n
+
1
=
x
n
x
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
y
x
{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx}
②
이며, 또한 ①에 따라
y
x
−
x
n
x
n
+
1
=
(
x
n
+
x
n
+
1
−
x
)
x
−
x
n
x
n
+
1
=
(
x
n
−
x
)
(
x
−
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle yx-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}+x_{n+1}-x)x-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0}
이므로,
y
x
>
x
n
x
n
+
1
{\displaystyle yx>x_{n}x_{n+1}
③
이다. ②와 ③에 따라,
x
n
+
1
=
x
n
x
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
y
x
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
x
n
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}
④
④에서,
x
>
0
{\displaystyle x>0}
이므로, 만약
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}
가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게
n
+
1
{\displaystyle n+1}
에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.
코시의 증명
모든 항이 같은 경우
만약
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}
이라면, 산술 평균과 기하 평균은
x
1
{\displaystyle x_{1}
로 같다.
모든 항이 같지는 않은 경우
만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히
n
>
1
{\displaystyle n>1}
이다.
n = 2
서로 다른 두 항
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}
가 주어지면,
(
x
1
+
x
2
2
)
2
−
x
1
x
2
=
1
4
(
x
1
2
+
2
x
1
x
2
+
x
2
2
)
−
x
1
x
2
=
1
4
(
x
1
2
−
2
x
1
x
2
+
x
2
2
)
=
(
x
1
−
x
2
2
)
2
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}+x_{2}{2}\right)^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x_{1}-x_{2}{2}\right)^{2}>0\end{aligned}
이므로,
x
1
+
x
2
2
>
x
1
x
2
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}{2}>{\sqrt {x_{1}x_{2}
이다.
n = 2k
n
{\displaystyle n}
이 2의 거듭제곱 꼴인 경우,
k
{\displaystyle k}
에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.
k
=
1
{\displaystyle k=1}
인 경우, 즉
n
=
2
{\displaystyle n=2}
인 경우는 이미 증명되었다.
k
−
1
{\displaystyle k-1}
에 대한 부등식의 가정 아래,
k
{\displaystyle k}
에 대한 부등식을 보이자.
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
k
2
k
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
k
−
1
2
k
−
1
+
x
2
k
−
1
+
1
+
x
2
k
−
1
+
2
+
⋯
+
x
2
k
2
k
−
1
2
≥
x
1
x
2
⋯
x
2
k
−
1
2
k
−
1
+
x
2
k
−
1
+
1
x
2
k
−
1
+
2
⋯
x
2
k
2
k
−
1
2
≥
x
1
x
2
⋯
x
2
k
−
1
2
k
−
1
x
2
k
−
1
+
1
x
2
k
−
1
+
2
⋯
x
2
k
2
k
−
1
=
x
1
x
2
⋯
x
2
k
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}{2^{k}&{}={\frac {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}{2^{k-1}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}{2^{k-1}{2}\\[7pt]&\geq {\frac {\sqrt[{2^{k-1}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}+{\sqrt[{2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}{2}\\[7pt]&\geq {\sqrt {\sqrt[{2^{k-1}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}{\sqrt[{2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}\end{aligned}
여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
2
k
−
1
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}
x
2
k
+
1
=
x
2
k
+
2
=
⋯
=
x
2
k
{\displaystyle x_{2^{k}+1}=x_{2^{k}+2}=\cdots =x_{2^{k}
이어야 한다.
두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
2
k
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k}
이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
k
2
k
>
x
1
x
2
⋯
x
2
k
2
k
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}{2^{k}>{\sqrt[{2^{k}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}
이다.
n < 2k
n
{\displaystyle n}
이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우,
n
{\displaystyle n}
보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수
m
{\displaystyle m}
을 취할 수 있다.
음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}
및 그 산술 평균
x
{\displaystyle x}
가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이
m
{\displaystyle m}
개로 확장하자.
x
n
+
1
=
x
n
+
2
=
⋯
=
x
m
=
x
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=x}
그렇다면, 이미 증명한
m
{\displaystyle m}
에 대한 부등식에 따라,
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
=
m
n
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
m
−
n
n
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
(
m
−
n
)
x
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
x
n
+
1
+
⋯
+
x
m
m
>
x
1
x
2
⋯
x
n
x
n
+
1
⋯
x
m
m
=
x
1
x
2
⋯
x
n
x
m
−
n
m
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}\\[6pt]&={\frac {\frac {m}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}{m}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}\end{aligned}
따라서,
x
m
>
x
1
x
2
⋯
x
n
x
m
−
n
{\displaystyle x^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}
즉,
x
>
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}
이다.
미분을 통한 증명
우선,
n
=
1
,
2
{\displaystyle n=1,2}
인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.
이제,
n
>
1
{\displaystyle n>1}
에 대하여 성립한다는 가정 아래,
n
+
1
>
2
{\displaystyle n+1>2}
에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}
이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.
x
1
+
⋯
+
x
n
+
x
n
+
1
n
+
1
−
(
x
1
⋯
x
n
x
n
+
1
)
1
n
+
1
>
0
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}{n+1}-(x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}>0}
이는 음이 아닌 실수
x
1
,
…
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\geq 0}
을 고정하고, 함수
f
(
t
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
+
t
n
+
1
−
(
x
1
⋯
x
n
t
)
1
n
+
1
(
t
≥
0
)
{\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}-(x_{1}\cdots x_{n}t)^{\frac {1}{n+1}\qquad (t\geq 0)}
를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.
f
(
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle f(x_{n+1})>0}
극값 을 구하기 위해,
f
{\displaystyle f}
의 미분 을 취하자.
f
′
(
t
)
=
1
n
+
1
−
1
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
+
1
t
−
n
n
+
1
{\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}-{\frac {1}{n+1}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}t^{-{\frac {n}{n+1}
따라서,
f
{\displaystyle f}
는 다음과 같은 임계점 을 갖는다.
f
′
(
t
0
)
=
0
⟺
t
0
=
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
{\displaystyle f'(t_{0})=0\iff t_{0}=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}
따라서,
f
{\displaystyle f}
의 가능한 극값은 다음과 같다.
f
(
0
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
1
>
0
{\displaystyle f(0)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}{n+1}>0}
f
(
t
0
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
+
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
n
+
1
−
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
(
n
+
1
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
1
+
1
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
−
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
=
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
1
−
n
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
=
n
n
+
1
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
−
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
)
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}{n+1}-({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}{n+1}+{\frac {1}{n+1}({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}-({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}{n+1}-{\frac {n}{n+1}({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}\\&={\frac {n}{n+1}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}{n}-({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}\right)\\&>0\end{aligned}
lim
t
→
∞
f
(
t
)
=
∞
>
0
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\infty >0}
여기서,
f
(
t
0
)
=
0
{\displaystyle f(t_{0})=0}
일 수 없는 이유는, 이미
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}
이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
에 대하여,
f
(
t
)
>
0
{\displaystyle f(t)>0}
이다. 특히,
t
=
x
n
+
1
{\displaystyle t=x_{n+1}
일 경우,
f
(
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle f(x_{n+1})>0}
이다. 이렇게
n
+
1
{\displaystyle n+1}
에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.
볼록성을 통한 증명
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들
x
1
,
x
2
…
,
x
n
>
0
{\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{n}>0}
에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.
ln
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
>
1
n
(
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
)
(
¬
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
)
{\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}>{\frac {1}{n}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}
이는 로그 함수의 옌센 부등식 이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수 임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법
(
ln
x
)
″
=
(
1
x
)
′
=
−
1
x
2
<
0
(
x
>
0
)
{\displaystyle (\ln x)''=\left({\frac {1}{x}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}<0\qquad (x>0)}
에 따라 성립한다.
관련 정리
가중 산술-기하 평균 부등식
가중 산술 평균 과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n 개의 음수가 아닌 실수들 x 1 , x 2 , …, x n 과 그에 대응하는 가중치 α1 , α2 , …, αn 가 있을 때, 가중치의 합
α
=
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}
이라 하면 다음이 성립한다.
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
⋯
+
α
n
x
n
α
≥
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
α
{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}{\alpha }\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}x_{2}^{\alpha _{2}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}
마찬가지로 이 부등식은 모든 x k 들이 같을 때 등식이 된다.
가중 산술-기하 평균 부등식의 증명
α
k
=
0
(
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)}
를 가중치로 갖는
x
k
{\displaystyle x_{k}
은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든
α
k
{\displaystyle \alpha _{k}
는 양수라고 가정할 수 있다.
f
(
x
)
=
l
n
x
{\displaystyle f(x)=lnx}
에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.
x
>
0
{\displaystyle x>0}
일 때
f
(
x
)
=
l
n
x
{\displaystyle f(x)=lnx}
는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로
ln
(
α
1
x
1
+
⋯
+
α
n
x
n
α
)
>
α
1
α
ln
x
1
+
⋯
+
α
n
α
ln
x
n
=
ln
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
α
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}{\alpha }{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}{\alpha }\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}{\alpha }\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}x_{2}^{\alpha _{2}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}.\end{aligned}
이다.
f
(
x
)
=
l
n
x
{\displaystyle f(x)=lnx}
는 단조증가함수이므로
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
⋯
+
α
n
x
n
α
≥
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
α
{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}{\alpha }\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}x_{2}^{\alpha _{2}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}
가 성립함이 증명된다.
제곱-산술-기하-조화 평균 부등식
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균 에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}
에 대하여, 다음이 성립한다.
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
≤
x
1
x
2
⋯
x
n
n
≤
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≤
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
x
n
2
n
{\displaystyle {\frac {n}{\frac {1}{x_{1}+{\frac {1}{x_{2}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}{n}
특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건 은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
<
x
1
x
2
⋯
x
n
n
<
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
<
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
x
n
2
n
(
¬
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
)
{\displaystyle {\frac {n}{\frac {1}{x_{1}+{\frac {1}{x_{2}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}{n}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
=
x
1
x
2
⋯
x
n
n
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
x
n
2
n
(
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
)
{\displaystyle {\frac {n}{\frac {1}{x_{1}+{\frac {1}{x_{2}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}{n}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}{n}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}
기타
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식 과 일반화된 평균 부등식 이 있다.
같이 보기
각주
↑ Hoffman, D. G. (1981), 〈Packing problems and inequalities〉, Klarner, David A., 《The Mathematical Gardner》, Springer, 212–225쪽, doi :10.1007/978-1-4684-6686-7_19
외부 링크