숄레스키 분해(Cholesky decomposition)는 에르미트 행렬(Hermitian matrix), 양의 정부호행렬(positive-definite matrix)의 분해에서 사용된다. 촐레스키 분해의 결과는 하삼각행렬과 하삼각행렬의 켤레전치 행렬의 곱으로 표현된다.
정의
에르미트 양의 정부호 행렬
의 숄레스키 분해는 다음과 같은 꼴의 분해이다.
![{\displaystyle A=LL^{*}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b604bc0ec61ac30e2bfe5bbca200a26742ba5c7)
여기서
은 하삼각행렬이며,
는
의 켤레전치이다. 또한,
의 대각 성분들은 모두 양의 실수이다.
의 모든 성분이 실수이면,
의 모든 성분도 실수이며,
로 분해된다.
역사
프랑스의 수학자 앙드레루이 숄레스키(프랑스어: André-Louis Cholesky)가 실수 행렬에 대해 발견했다.
예제
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{array}{*{3}{r}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{array}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{r}2&0&0\\6&1&0\\-8&5&3\\\end{array}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}2&6&-8\\0&1&5\\0&0&3\\\end{array}\right).\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b139af2d8d18abde0ee195701edd3f0abd7b2e)
응용
이는 효율적인 수치해석에서 유용하게 사용되며, 몬테 카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulations)에서도 유용하다. 선형 방정식 시스템을 푸는 실제 응용에서, 촐레스키 분해가 LU 분해와 비교했을 때 약 두 배 정도 효율적인 것으로 알려졌다.[1]
계산
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{T}&={\begin{pmatrix}L_{11}&0&0\\L_{21}&L_{22}&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}\\\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}L_{11}&L_{21}&L_{31}\\0&L_{22}&L_{32}\\0&0&L_{33}\end{pmatrix}\\&={\begin{pmatrix}L_{11}^{2}&&({\text{symmetric})\\L_{21}L_{11}&L_{21}^{2}+L_{22}^{2}&\\L_{31}L_{11}&L_{31}L_{21}+L_{32}L_{22}&L_{31}^{2}+L_{32}^{2}+L_{33}^{2}\end{pmatrix},\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c68724f83c05d6170a976418a90f555b361e7aa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}{\sqrt {A_{11}&0&0\\A_{21}/L_{11}&{\sqrt {A_{22}-L_{21}^{2}&0\\A_{31}/L_{11}&\left(A_{32}-L_{31}L_{21}\right)/L_{22}&{\sqrt {A_{33}-L_{31}^{2}-L_{32}^{2}\end{pmatrix}\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02121dd0a3a680bea32fb0df29b50508b2cc782)
![{\displaystyle L_{j,j}={\sqrt {A_{j,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{j,k}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf826b0ffb86e190d432828d7485f52f618eaed)
![{\displaystyle L_{i,j}={\frac {1}{L_{j,j}\left(A_{i,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{i,k}L_{j,k}\right)\quad {\text{for }i>j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f8de93310247c939102367ecc284d1f4beff9d)
같이 보기
각주