기하학에서 이차 초곡면(二次超曲面, 영어: quadric)은 이차 다항식으로 정의되는 대수다양체이다.
정의
체
에 대한
변수 2차 다항식
이 주어졌을 때,
에 대응하는 이차 초곡면은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {A} _{K}^{n}/(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65ba3965d2cd8aa076e4c6e51cced1a56e02ab0)
즉,
![{\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {A} _{K}^{n}\colon P(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7a934cf63b7c157d46e4379ef0f0c14aac7c75)
이다. 이는 일반적으로
차원 아핀 대수다양체를 이룬다.
만약
가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식
이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는
차원 사영 공간 속의
차원 사영 대수다양체를 이룬다.
2차원 이차 초곡면을 이차 곡면(영어: quadric surface)이라고 한다.
예
1차원 이차 초곡면
유클리드 공간의 1차원 이차 초곡면은 원뿔 곡선이라고 한다.
이차 곡면
유클리드 공간의 이차 곡면들은 다음과 같이 14가지가 있다.
비퇴화 이차 곡면
|
타원면 | ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}+{z^{2} \over c^{2}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e638f8f5e0e83889dbf3d5648e28e79a4a8daadc) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Ellipsoid_Quadric.png/150px-Ellipsoid_Quadric.png) | 회전타원면 | ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over a^{2}+{z^{2} \over b^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e86c6827e47d0e6a3867a529fc34dec182007e8) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Oblate_Spheroid_Quadric.png/150px-Oblate_Spheroid_Quadric.png) | 구 | ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over a^{2}+{z^{2} \over a^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2273759f04d475d423b8db4253ae279666b0926b) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Sphere_Quadric.png/150px-Sphere_Quadric.png) |
타원 포물면
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed006c92e9da5fc78d2f41ee47072d51993a3241) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Paraboloid_Quadric.Png/150px-Paraboloid_Quadric.Png) | 원 포물면
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over a^{2}-z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ea2e5135e67b68461611a444c999a3638021c4) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Circular_Paraboloid_Quadric.png/150px-Circular_Paraboloid_Quadric.png) | 쌍곡 포물면
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}-{y^{2} \over b^{2}-z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec95303ec02819da164cbfecd8f8b157d65f875) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Hyperbolic_Paraboloid_Quadric.png/150px-Hyperbolic_Paraboloid_Quadric.png) |
일엽 쌍곡면
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-{z^{2} \over c^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74dc61c02972f87421206576792c52b46c35c610) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Hyperboloid_Of_One_Sheet_Quadric.png/150px-Hyperboloid_Of_One_Sheet_Quadric.png) | 이엽 쌍곡면
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-{z^{2} \over c^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c107ece81d5870bccab9363c7053d1a7084d3d) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Hyperboloid_Of_Two_Sheets_Quadric.png/150px-Hyperboloid_Of_Two_Sheets_Quadric.png) |
퇴화 이차 곡면
|
타원뿔
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-{z^{2} \over c^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854d1580d9fb8be3aeae4a6d3aa03c28b80fa03f) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Elliptical_Cone_Quadric.Png/150px-Elliptical_Cone_Quadric.Png) | 원뿔 | ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over a^{2}-{z^{2} \over b^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec3c8b8e0639a1e53cc5890d6578dfe6a2af538) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Circular_Cone_Quadric.png/150px-Circular_Cone_Quadric.png) | 포물 기둥
| ![{\displaystyle x^{2}+2ay=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7d1967a565d9cd01e12e783be2117cab12cb08) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Parabolic_Cylinder_Quadric.png/150px-Parabolic_Cylinder_Quadric.png) |
타원기둥
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3cbda04c0e7bd8f6008ed0a39c3604a7ebdc92) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Elliptic_Cylinder_Quadric.png/150px-Elliptic_Cylinder_Quadric.png) | 원기둥 | ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}+{y^{2} \over a^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463e1b2be9deaf989a2e36fa79c064e4ad1d1b16) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Circular_Cylinder_Quadric.png/150px-Circular_Cylinder_Quadric.png) | 쌍곡 기둥
| ![{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}-{y^{2} \over b^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d9e27ab00b72e1d2a522cb1f31e1c9109edafb) | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Hyperbolic_Cylinder_Quadric.png/150px-Hyperbolic_Cylinder_Quadric.png) |
---|
같이 보기
외부 링크