이항 급수

해석학에서 이항 급수(二項級數, 영어: binomial series)는 이항 계수를 계수로 하는 멱급수이다. 이항식의 거듭제곱의 매클로린 급수이다. 이항 정리의 일반화이다.

복소수 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$가 주어졌을 때, 이항 급수는 ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }$의 매클로린 급수이다. 이는 다음과 같다.

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{k}{k!}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}x^{3}+\cdots }$

여기서 ${\displaystyle \textstyle {\binom {\alpha }{k}$는 이항 계수, ${\displaystyle (\alpha )_{k}$는 하강 계승, ${\displaystyle k!}$는 계승이다.

음이항 급수(陰二項級數, 영어: negative binomial series)는 ${\displaystyle (1-x)^{-\alpha }$의 매클로린 급수이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle (1-x)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha +k-1}{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{(k)}{k!}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{6}x^{3}+\cdots }$

여기서 ${\displaystyle \alpha ^{(k)}$는 상승 계승이다.

이항 급수의 수렴역은 다음과 같다. (여기서 ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 음의 아닌 정수의 집합)

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} &\alpha \in \mathbb {N} \\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|\leq 1\}&\operatorname {Re} \alpha >0,\;\alpha \not \in \mathbb {N} \\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|\leq 1\}\setminus \{-1\}&-1<\operatorname {Re} \alpha \leq 0,\;\alpha \neq 0\\\{x\in \mathbb {C} \colon |x|<1\}&\operatorname {Re} \alpha \leq -1\end{cases}$

특히, 실수의 경우의 수렴역은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &\alpha \in \mathbb {N} \\{}[-1,1]&\alpha >0,\;\alpha \not \in \mathbb {N} \\{}(-1,1]&-1<\alpha <0\\{}(-1,1)&\alpha \leq -1\end{cases}$

이항 급수의 ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,\dots \}$의 경우를 이항 정리라고 하며, 다음과 같다.

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}x^{k}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}x^{2}+\cdots +{\frac {n(n-1)}{2}x^{n-2}+nx^{n-1}+x^{n}\qquad x\in \mathbb {C} }$

이항 급수의 ${\displaystyle \alpha =-1/2}$의 경우는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}x^{k}=1+{\frac {1}{2}x+{\frac {3}{8}x^{2}+{\frac {5}{16}x^{3}+\cdots \qquad |x|\leq 1,\;x\neq -1}$

이항 급수의 ${\displaystyle \alpha =-1}$의 경우는 다음과 같은 기하급수이다.

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \qquad |x|<1}$

이항 급수의 ${\displaystyle \alpha =-2}$의 경우는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots \qquad |x|<1}$

• 이항 정리

• 이철희. “이항급수와 이항정리”. 《수학노트》. 
• “Binomial series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative binomial series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Binomial formula”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Binomial theorem/General binomial theorem”. 《ProofWiki》 (영어).