일반화 (논리학)

일반화 정리(generalization theorem, 一般化定理)는 수리논리학의 정리로서, 일차 논리학에서 추론규칙 중 하나인 일반화(generalization)가 성립함을 보장해 주는 정리이다. 이 정리는 어떤 논리식들의 집합 G와 논리식 p에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

• 만약 ${\displaystyle G\vdash p}$ 이고 변수 x가 G의 어느 논리식에서도 자유변수가 아니면, ${\displaystyle G\vdash \forall x(p)}$이다.

이 정리는 추론규칙으로서 자명하게 받아들여지기도 하나, 엄밀하게 말해서는 증명해야 하는 것이다. 증명은 건전성 정리의 경우와 유사하게, 경우를 다음 셋으로 나누어 귀납법에 의하여 하면 된다.^[1]

1. p가 논리적 공리인 경우.
2. p가 G의 원소인 경우.
3. 어떤 논리식 q가 존재해서 전건긍정식에 의해 ${\displaystyle q\rightarrow p}$ 인 경우.

• 1차 논리
• 성급한 일반화

• Herbert B. Enderton (2002), A mathematical introduction to logic, Academic Press(Elsevier)