특성함수 (확률론)
확률변수 의 특성함수 (特性函數, 영어 : characteristic function )는 각각의 확률 분포 와 일대일 대응 이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값 이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수 와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다.
실수
t
{\displaystyle t}
에 대해, 확률변수
X
{\displaystyle X}
의 특성함수
φ
X
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)}
는 다음과 같이 정의된다.
φ
X
(
t
)
=
E
[
e
i
t
X
]
=
∫
R
e
i
t
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}f(x)\,dx}
.
여기서
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는
X
{\displaystyle X}
의 확률밀도함수 이다.
예제
다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수 와 특성함수의 목록이다.
분포
모멘트생성함수
특성함수
이항 분포 B(n, p )
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{t})^{n}
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}
푸아송 분포 Pois(λ )
e
λ
(
e
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{t}-1)}
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}
연속균등분포 U(a, b )
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{tb}-e^{ta}{t(b-a)}
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}{it(b-a)}
정규분포 N (μ, σ2 )
e
t
μ
+
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{t\mu +{\frac {1}{2}\sigma ^{2}t^{2}
e
i
t
μ
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}\sigma ^{2}t^{2}
카이제곱 분포 χ2 k
(
1
−
2
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2t)^{-k/2}
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}
감마 분포 Γ(k, θ )
(
1
−
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-t\theta )^{-k}
(
1
−
i
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}
지수분포 Exp(λ )
(
1
−
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-t\lambda ^{-1})^{-1}
(
1
−
i
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}
다변량 정규분포 N (μ , Σ )
e
t
T
μ
+
1
2
t
T
Σ
t
{\displaystyle \,e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}
e
i
t
T
μ
−
1
2
t
T
Σ
t
{\displaystyle \,e^{it^{\mathrm {T} }\mu -{\frac {1}{2}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}
퇴화분포 δa
e
t
a
{\displaystyle \,e^{ta}
e
i
t
a
{\displaystyle \,e^{ita}
라플라스 분포 L(μ, b )
e
t
μ
1
−
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{t\mu }{1-b^{2}t^{2}
e
i
t
μ
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }{1+b^{2}t^{2}
코시 분포 Cauchy(μ, θ )
정의되지 않음
e
i
t
μ
−
θ
|
t
|
{\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}
음이항 분포 NB(r, p )
(
p
e
t
)
r
(
1
−
(
1
−
p
)
e
t
)
r
{\displaystyle \,{\frac {(pe^{t})^{r}{(1-(1-p)e^{t})^{r}
p
r
(
1
−
(
1
−
p
)
e
i
t
)
r
{\displaystyle \,{\frac {p^{r}{(1-(1-p)e^{it})^{r}
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