판별식
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수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.
정의
대수적으로 닫힌 체 계수의 0이 아닌 다항식
의 판별식은 다음과 같다.[1]:204
여기서
- 는 형식적 미분이다.
- 는 종결식이다.
- 는 행렬식이다.
성질
대수적으로 닫힌 체 및 0이 아닌 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 중복근을 갖는다.
예
2차 다항식
복소수 계수 2차 다항식
의 판별식은 다음과 같다.
만약 , , 가 모두 실수일 경우 판별식은 실수가 되는데, 만약 양의 실수라면 두 서로 다른 실근을 가지며, 음의 실수라면 두 서로 다른 허근을 가진다. 만약 0이라면 2중 실근을 갖는다.
3차 다항식
복소수 계수 3차 다항식
의 판별식은 다음과 같다.
특히, 다항식
의 판별식은
이다.
4차 다항식
복소수 계수 4차 다항식
의 판별식은
이다.
참고 문헌
외부 링크