하이젠베르크 스핀 사슬

물리학에서 하이젠베르크 스핀 사슬(영어: Heisenberg spin chain)은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 자연수 ${\displaystyle L\in \mathbb {N} }$. 이는 스핀 사슬의 길이이다.
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 복소수 표현 ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2s+1}$, ${\displaystyle {\vec {\sigma }_{ab}$, ${\displaystyle a,b\in \{1,2,\dotsc ,2s+1\}$. 이는 스핀 ${\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}$에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 ${\displaystyle s}$에 대응되는 표현은 ${\displaystyle 2s+1}$ 복소수 차원 표현이다.
• 3×3 실수 대칭 행렬 ${\displaystyle J_{ij}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )}$.

그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱

${\displaystyle {\mathcal {H}=V^{\otimes L}$

이다. 각 ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,L\}$에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 ${\displaystyle V_{i}$ 및 그 위에만 작용하는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ 표현 ${\displaystyle {\vec {\sigma }_{i}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle s=1/2}$일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{1/2}={\frac {1}{\hbar }\sum _{i=1}^{L}J({\vec {\sigma }_{i},{\vec {\sigma }_{i+1})}$

여기서 ${\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,L\}$은 법 ${\displaystyle L}$로 취급된다. 즉, ${\displaystyle L\equiv 0{\pmod {L}$이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.

• 만약 ${\displaystyle J}$의 세 고윳값 ${\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})}$이 모두 같다면 (즉, ${\displaystyle J}$가 ${\displaystyle \operatorname {O} (3)}$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXX spin chain)이라고 한다.
  • 이 경우, 만약 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}>0}$이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, 영어: ferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
  • 이 경우, 만약 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}<0}$이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, 영어: antiferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle J}$의 세 고윳값 ${\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})}$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, ${\displaystyle J}$가 ${\displaystyle \operatorname {O} (2)}$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXZ spin chain)이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle J}$의 세 고윳값 ${\displaystyle (J_{1},J_{2},J_{3})}$이 모두 서로 다르다면 (즉, ${\displaystyle J}$의 안정자군이 자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XYZ spin chain)이라고 한다.

또한, 사용되는 스핀 ${\displaystyle s}$를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX_½ 스핀 사슬”은 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J_{3}$이며, ${\displaystyle s=1/2}$인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

하이젠베르크 XXX_½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는 ${\displaystyle z}$ 방향 총 스핀 연산자

${\displaystyle S_{z}=\sum _{i=1}^{L}\sigma _{i}^{z}$

와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXX_s 스핀 사슬의 ${\displaystyle N}$-마그논 베테 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \prod _{m\in \{1,\dotsc ,N\}\setminus \{n\}{\frac {\lambda _{n}-\lambda _{m}+\mathrm {i} }{\lambda _{n}-\lambda _{m}-\mathrm {i} }=\left({\frac {\lambda _{n}+\mathrm {i} s}{\lambda _{n}-\mathrm {i} s}\right)^{L}\qquad \forall n\in \{1,\dotsc ,N\}$

베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다.^[1] 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이(영어: Bethe ansatz)를 도입하여 풀었다.^[2]

• Rodney J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982

• Lamers, Jules (2012). 《The Bethe/gauge correspondence》 (영어). 석사 학위 논문. 위트레흐트 대학교. 2017년 8월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 8월 30일에 확인함.