Seka

Matematikoje seka vadinama kažkokia tvarka išrašyta skaičių (arba kitų elementų) aibė, pvz.:

${\displaystyle \lbrace \;1,2,3,4,5,6,7,\dots \;\rbrace }$

${\displaystyle \lbrace \;A,B,C,D,E,F\;\rbrace }$

Individualūs elementai vadinami sekos nariais. Seka gali turėti baigtinį arba begalinį narių skaičių. Sekoje yra svarbi narių tvarka, pvz., šios sekos nėra ekvivalenčios:

${\displaystyle \lbrace \;A,B,C\;\rbrace }$

${\displaystyle \lbrace \;C,B,A\;\rbrace }$

Skaičių seka

Sakoma, jog skaičių seka yra apibrėžta, jeigu yra nurodytas dėsnis, pagal kurį kiekvienam natūraliajam ${\displaystyle n}$ yra priskiriamas skaičius ${\displaystyle a_{n}$.^[1]

Skaičių sekos gali būti apibrėžiamos ne tik analiziniu būdu, kaip n-tojo nario formule, bet ir rekurentiškai, kai sekos n-tasis narys išreiškiamas (n-1)-uoju, ..., (n-k)-tuoju nariu, kur k - fiksuotas skaičius, nurodantis pirmųjų sekos narių skaičių.^[2][3] Tokios skaičių sekos pavyzdys - Fibonačio seka.

Begalinės skaičių sekos

Matematinėje analizėje svarbiausią vaidmenį vaidina begalinės skaičių sekos, jos apibrėžiamos taip: tegul ${\displaystyle f(n)}$ yra funkcija, kurios argumentai yra natūralieji skaičiai. Visų funkcijos reikšmių aibė, išrašyta argumento didėjimo tvarka, vadinama skaičių seka:

${\displaystyle \lbrace \;f(1),f(2),f(3),f(4),\dots ,f(n),\dots \;\rbrace }$

Kartais funkcijos reikšmė būna neapibrėžta su kai kuriomis argumento reikšmėmis, pvz.: reiškinys ${\displaystyle {\frac {1}{n-1}$ neapibrėžtas su ${\displaystyle n=1}$. Tokiais atvejais argumentai prasideda ne nuo 1, o nuo didesnio skaičiaus.

Pavyzdžiui, jei ${\displaystyle f(n)={\frac {1}{n}$, tai skaičių seka bus:

${\displaystyle \left\lbrace \;{\frac {1}{1},{\frac {1}{2},{\frac {1}{3},{\frac {1}{4},{\frac {1}{5},\dots ,{\frac {1}{n},\dots \;\right\rbrace }$

Reiškinys ${\displaystyle f(n)}$ vadinamas bendruoju sekos nariu arba bendrojo nario formule, nes iš šios išraiškos per nario eilės numerį galima gauti bet kurį sekos narį.^[4]

Sekos dažniausiai išskiriamos riestiniais skliaustais, kuriuose rašomi keli pirmieji sekos nariai, o gale užrašomas ir bendrasis narys. Kartais skliaustuose rašomas tik bendrasis narys.

Posekis

Kažkokiu būdu iš sekos išmetę kažkuriuos narius, gauname naują seką, kurią vadiname senosios sekos posekiu. Pvz., iš sekos ${\displaystyle \lbrace \;{\frac {1}{n}\;\rbrace }$ išmetę kas antrą narį gauname posekį:

${\displaystyle \left\lbrace \;{\frac {1}{1},{\frac {1}{3},{\frac {1}{5},{\frac {1}{7},\dots \;{\frac {1}{2n-1},\dots \;\right\rbrace }$

Šaltiniai