Eilera funkcija

Skaitļu teorijā Eilera funkcija ${\displaystyle \varphi (n)}$ no naturāla skaitļa n ir visu to naturālo skaitļu skaits, kas nepārsniedz n un ir savstarpēji pirmskaitļi ar n. Turklāt ${\displaystyle \varphi (1)=1}$, jo 1 ir savstarpējs pirmskaitlis ar sevi. Tālāk, piemēram, ${\displaystyle \varphi (9)=6}$, jo seši skaitļi 1, 2, 4, 5, 7 un 8 ir savstarpēji pirmskaitļi ar 9.

Funkcija ir nosaukta Šveices matemātiķa L. Eilera vārdā, kas to ir pētījis. Dažreiz to sauc arī par Eilera fī funkciju, jo to parasti apzīmē ar grieķu burtu fī.

Nav grūti saprast, ka ja p ir pirmskaitlis, tad ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$. Tālāk, jebkuram naturālam k un pirmskaitlim p ${\displaystyle \varphi (p^{k})=(p-1)p^{k-1}$. Vēl vairāk, ${\displaystyle \varphi }$ ir multiplikatīva funkcija. Tas nozīmē, ka ja m un n ir savstarpēji pirmskaitļi, tad ${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$.

Tāpēc ${\displaystyle \varphi (n)}$ vērtību pie ${\displaystyle n>1}$ var aprēķināt, izmantojot aritmētikas pamatteorēmu: ja

${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}\cdot ...\cdot p_{r}^{k_{r}$

kur p_i ir dažādi pirmskaitļi, tad

${\displaystyle \varphi (n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1}\times (p_{2}-1)p_{2}^{k_{2}-1}\times ...\times (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}$.

Pēdējo formulu var uzrakstīt arī šādi:

${\displaystyle \varphi (n)=n(p_{1}-1)p_{1}^{-1}\times (p_{2}-1)p_{2}^{-1}\times ...\times (p_{r}-1)p_{r}^{-1}=n\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}\right)}$.

• Eilera teorēma