Ermita matrica

Matemātikā Ermita matrica ir tāda n ×n kompleksa matrica A, kurai izpildās sakarība

${\displaystyle A^{\dagger }=A,\,}$

kur A^† = A^T ir matricas A konjugēti transponētā matrica (kompleksi saistītās matricas A transponētā matrica).^[1] Ja matrica A ir Ermita, tad tās elementiem izpildās sakarība

${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji},\,}$

kur a_ij matricas A elements, kas atrodas tās i-tajā rindiņā un j-tajā kolonnā, un a apzīmē skaitļa a kompleksi saistīto skaitli.

Ermita matricas var interpretēt kā reālu simetrisku matricu vispārinājumu kompleksiem skaitļiem. Tās ir nosauktas par godu franču matemātiķim Šarlam Ermitam, kurš 1855. gadā pierādīja, ka tām ir reālas īpašvērtības, tāpat kā reālām simetriskām matricām.

Piemēri

Ja ar i apzīmē imagināro vienību, tad matrica

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix},}$

ir Ermita. Pauli matricas un Gella-Manna matricas ir Ermita matricas, kas tiek bieži izmantotas fizikā. Jebkura reāla simetriska matrica ir Ermita matrica (piemēram, grafa incidences matrica).

Pielietojums

Ermita matricas plaši izmanto kvantu mehānikā, kur kvantu sistēmas stāvoklis tiek raksturots ar blīvuma matricu. Blīvuma matrica ir Ermita matrica, kam piemīt vēl divas papildu īpašības: visas īpašvērtības ir nenegatīvas (jeb matrica ir pozitīva semidefinita) un to summa (jeb matricas pēda) ir vienāda ar 1.

Skatīt arī

• Bloha sfēra
• Normāla matrica
• Ortogonāla matrica
• Pozitīva semidefinita matrica
• Unitāra matrica

Piezīmes

Atsauces

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990), Matrix analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-52-138632-6.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Hermitian Matrix, MathWorld.