Дефиниција
Функцијата , каде , а функцијата е непрекината во множеството , се нарекува рамномерно (униформно) непрекината во тоа множество, ако за секое , може да се најде позитивно , така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од , важи .
Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата во множеството може да се запише како:
- .
Дискусија на дефиницијата
Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен , потребно е да се најде најмалото од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:
Ако множеството е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало . Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.
Критериум за одредување рамномерна непрекинатост
Главна статија: Канторов став за рамномерна непрекинатост
Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.
Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите.
Теорема
Ако функцијата е непрекината во интервалот , таа е и рамномерно непрекината во него.
Доказ
Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата е непрекината во интервалот (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка од тој сегмент постои некоја околина и за сите точки важи: .
Да избереме 2 точки, . Тогаш имаме:
Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, . Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот , ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент , па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот . Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките така што нивните околини образуваат потпокривач на сегментот . Бидејќи точки има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата и ја означуваме со .
Да избереме сега некоја точка од интервалот кој му припаѓа на некој од интервалите , кое го запишуваме: .
Да избереме и точка од интервалот која се наоѓа во -околинат на точката , т.е. . Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е , тогаш сигурно е и .
Сега од и имаме дека:
т.е. двете точки, и и , припаѓаат на околината -на точката , односно, двете се наоѓаат во некоја околина ,
па тогаш имаме дека
, што и требаше да се докаже.
Поврзано
Литература
- Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.