Секанс
y(x)=sec(x)
Основни особини
Домен
(-π/2+kπ,π/2+kπ), k од Z
Кодомен
(-∞,1] и [1,∞)
Паритет
парна
Периода
2π
Одредени вредности
Асимптота
(k + 1/2)π
Други особини
Извод
sec²(x)/cosec(x)
Секанс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и катетата што прилежи кон дадениот агол.[1]
Дефиниција
Дефиницијата гласи:
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}
Врската со косеканс е
sec
x
=
cosec
(
π
/
2
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)}
додека Питагоровиот идентитет , идентитет заснован на Питагоровата теорема, која ги поврзува тригонометриските функции е
1
+
tan
2
(
α
)
=
sec
2
(
α
)
{\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )}
Како и останатите тригонометриски функции и секансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник . Секанс е однос на хипотенузата и налегнатата катета.[2]
sec
θ
=
h
b
{\displaystyle \operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{b}
Тригонометриски триаголник
На тригонометрискиот круг вредноста на секансот е еднаква на големината на следната должина
sec
θ
=
O
B
¯
{\displaystyle \sec \theta ={\overline {OB}
Првиот квадрант од единична кружница
Некои карактеристични вредности
степени
0°
30°
45°
60°
90°
радијани
0
π
/
6
{\displaystyle \pi /6}
π
/
4
{\displaystyle \pi /4}
π
/
3
{\displaystyle \pi /3}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \,}
1
{\displaystyle 1\;}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}{\sqrt {3}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}
2
{\displaystyle 2\;}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty \;}
Претставување на функцијата
Претставување на функцијата во вид на Тејлоров ред во околината на точката
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sec
x
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
61
x
6
720
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}{2}+{\frac {5x^{4}{24}+{\frac {61x^{6}{720}+\cdots \qquad {\textrm {za}\ |x|<{\frac {\pi }{2}
Односно обопштено
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
за
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}{(2n)!}x^{2n}\quad {\mbox{ за }|x|<{\frac {\pi }{2}\!}
каде
E
k
{\displaystyle E_{k}\!}
во формулата е Ојлерови броеви.
Исто така можно е функцијата да се претстави во следниот вид:
sec
(
x
)
=
π
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
8
k
+
4
)
(
2
k
+
1
)
2
π
2
−
4
x
2
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec(x)=\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}\quad {\mbox{ za }|x|<{\frac {\pi }{2}\!}
Особини на функцијата
Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.
Дефинициона област на функцијата:
функција е дефинирана во множеството реални броеви
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Област на вредностите на функцијата:
функцијата зема вредности во опсег на реалните броев, освен во областа -1 до 1
−
∞
<
sec
(
x
)
≤
−
1
∪
1
≤
sec
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }
функција е парна
sec
(
−
x
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}
функцијата е периодична со основна периода 2π
sec
(
x
+
2
π
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}
функцијата има вертикални асимптоти во точките
x
=
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти
функцијата нема нули
Монотоност на функцијата
Екстреми
нема глобален екстрем
локален минимум
sec
(
2
n
⋅
π
)
=
1
;
n
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
локален максимум
sec
(
(
2
n
+
1
)
⋅
π
)
=
−
1
;
n
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
Конвексност и конкавност на функцијата
функција е конвексна во интервалот
−
π
/
2
+
2
n
π
<
x
<
π
/
2
+
2
n
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функцијата е конкавна во интервалот
π
/
2
+
2
n
π
<
x
<
3
π
/
2
+
2
n
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle \pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функцијата нема превојни точки
Извод од функцијата
Првиот извод од функцијата е
d
d
x
sec
(
x
)
=
sec
(
x
)
⋅
tan
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
cosec
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}
Интеграл
Неодредениот интеграл на функцијата е
∫
sec
(
x
)
d
x
=
ln
|
1
+
sin
(
x
)
cos
(
x
)
|
=
ln
|
sec
(
x
)
+
tan
(
x
)
|
{\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}
Историја
Скратеницата sec првпат се појавува во 1626 година во книгата на Албер Жерар за тригонометрија.[3]
Наводи
↑ „секанс“ — Дигитален речник на македонскиот јазик
↑ Риста Карљиковић, Геометрија за више разреде средњих школа , трећи део, тригонометрија, издање књижарнице Рајковића и Ђурковића, Београд-Теразије, 1931
↑ Миодраг Петковић, Љиљана Петковић, Математички времеплов, прилози за историју математике , ЗМАЈ, Нови Сад, 2006
Надворешни врски
Литература
Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инженеров и учахчихсја втузов , Москва, »Наука«, 1980