Gelanggang (matematik)

Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.

Takrif

Secara formal, gelanggang ialah suatu set ${\displaystyle R}$, dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, ${\displaystyle +:R\times R\rightarrow R}$ dan darab, ${\displaystyle \cdot :R\times R\rightarrow R}$ (di mana ${\displaystyle \times }$ adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

• ${\displaystyle (R,+)}$ adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
  1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle a+b}$ juga dalam ${\displaystyle R}$.
  2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$.
  3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam ${\displaystyle R}$, di mana bagi setiap unsur ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle 0+a=a+0=a}$.
  4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle R}$, wujud unsur ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle R}$ di mana ${\displaystyle a+b=b+a=0}$.
  5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle a+b=b+a}$.

• ${\displaystyle (R,\cdot )}$ adalah monoid terhadap pendaraban:
  1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle a\cdot b}$ juga dalam ${\displaystyle R}$.
  2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.
  3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam ${\displaystyle R}$, di mana bagi setiap unsur ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$.

• Hukum-hukum kalis agihan:
  1. Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.
  2. Bagi setiap ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}$.