Driehoekskwadraatgetal

Een driehoekskwadraatgetal is een getal dat zowel een driehoeksgetal als een kwadraatgetal is. Er zijn oneindig veel driehoekskwadraatgetallen. De eerste zes zijn 0, 1, 36, 1.225, 41.616 en 1.413.721.^[1]

Het k-de driehoekskwadraatgetal n_k is te schrijven als

${\displaystyle n_{k}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}=s_{k}^{2}$

met t_k de zijde van de driehoek en s_k de zijde van het vierkant die bij het k-de driehoekskwadraatgetal horen.

Het rechterdeel van bovenstaande vergelijking is een diofantische vergelijking, omdat t_k en s_k gehele getallen zijn. Deze vergelijking kan naar een vergelijking van Pell worden omgeschreven.

Leonhard Euler heeft in 1778 de volgende formule afgeleid:^[2]

${\displaystyle n_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2})^{k}-(3-2{\sqrt {2})^{k}{4{\sqrt {2}\right)^{2}$

Deze uitdrukking is gelijk aan

${\displaystyle n_{k}={1 \over 32}\left((3+2{\sqrt {2})^{k}-(3-2{\sqrt {2})^{k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2})^{2k}-(1-{\sqrt {2})^{2k}\right)^{2}$