Mamardasjvili genoot zijn jeugdopleiding bij FK Gagra en Dinamo Tbilisi. Laatstgenoemde club verhuurde hem in 2019 aan FC Roestavi. In januari 2020 volgde een tweede verhuurperiode, ditmaal voor anderhalf jaar bij Lokomotivi Tbilisi. Dinamo Tbilisi verhuurde Mamardasjvili in juli 2021 voor een jaar aan Valencia, dat een aankoopoptie bedong in het huurcontract.[1] De Georgiër werd aanvankelijk gezien als een versterking voor Valencia Mestalla (het tweede elftal van de club in de Tercera División RFEF). Hij maakte in de voorbereiding echter zoveel indruk op trainer José Bordalás dat hij tijdens de eerste wedstrijd van het seizoen 2021/22 de voorkeur kreeg boven doelman Jasper Cillessen in het eerste team, tegen Getafe.[2] Na zes wedstrijden verloor Mamardasjvili zijn positie aan de Nederlander, maar in februari 2022 won hij hem weer terug. Valencia had in december de koopoptie in zijn contract inmiddels gelicht. Nadat Cillessen in de zomer van 2022 de club verliet, miste Mamardasjvili in 2022/23 geen wedstrijd.
Mamardasjvili maakte op 8 september 2021 zijn interlanddebuut voor Georgië, in een oefeninterland tegen Bulgarije (4–1-verlies).[3] In 2024 nam hij met zijn land deel aan het EK in Duitsland.