Jacobi-matrix

De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij ${\displaystyle f}$ een functie

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$,

dus een functie die ${\displaystyle n}$ invoerwaarden nodig heeft en ${\displaystyle m}$ waarden teruggeeft, met

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))}$,

waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix ${\displaystyle J(f)}$ van ${\displaystyle f}$ als volgt gedefinieerd:

${\displaystyle J(f)={\frac {\partial (f_{1},\cdots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\cdots ,x_{n})}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}{\partial x_{1}&{\frac {\partial f_{1}{\partial x_{2}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}{\partial x_{n}\\{\frac {\partial f_{2}{\partial x_{1}&{\frac {\partial f_{2}{\partial x_{2}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}{\partial x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}{\partial x_{1}&{\frac {\partial f_{m}{\partial x_{2}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}{\partial x_{n}\end{bmatrix}$

In het geval dat ${\displaystyle m=n}$, dus als de jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt naar voren bij coördinatentransformaties in integralen in meer dimensies, zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten.

Jacobi-matrix en Jacobiaan zijn naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi genoemd, die in zijn loopbaan aan de ontwikkeling van het begrip determinant heeft bijgedragen.

Als ${\displaystyle m=1}$, dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft, komt de jacobi-matrix met de gradiënt van ${\displaystyle f}$ overeen, notatie: ${\displaystyle \nabla f}$.

Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf. Als ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ in het punt ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ continu en niet-singulier is, dan is ${\displaystyle f}$ lokaal inverteerbaar in een omgeving van ${\displaystyle x_{0}$, en er geldt

${\displaystyle (J_{f^{-1})(f(x_{0}))=[(J_{f})(x_{0})]^{-1}$

De Jacobiaan kan dus worden gebruikt om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm ${\displaystyle f(x)=b}$ een oplossing heeft. Als ${\displaystyle J(f)(x)}$ regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal ${\displaystyle f}$ lokaal inverteerbaar zijn in ${\displaystyle x}$ en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.

De jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van ${\displaystyle {\partial f_{i}/{\partial x_{j}$ is die van ${\displaystyle f_{i}$ gedeeld door die van ${\displaystyle x_{j}$ en kan daardoor van ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle j}$ afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.

• Transformatie van poolcoördinaten naar cartesische coördinaten bij integreren

De Jacobiaan ${\displaystyle \det J_{f}$ van de transformatie gegeven door:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \\y&=r\sin \varphi \end{aligned}$

van poolcoördinaten ${\displaystyle (r,\varphi )}$ naar cartesische coördinaten ${\displaystyle (x,y)}$ is ${\displaystyle r}$, omdat

${\displaystyle J_{f}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}$.

${\displaystyle \det J_{f}=r}$

Dat geeft dat

${\displaystyle \iint _{f(A)}f(x,y)\ dx\ dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi \ r\sin \varphi )\ r\ dr\ d\varphi }$

• H Hofstede. De Jacobiaan.