Karakter (wiskunde)

In de groepsrepresentatie, een deelgebied van de wiskunde, is een karakter (meestal) een speciaal type functie van een groep naar een lichaam/veld, meestal het lichaam van de complexe getallen. Afhankelijk van de soort groep waarop de representatie betrekking heeft, zijn er verschillende betekenissen.

Willekeurige groep

Voor een groep ${\displaystyle G}$ is een karakter ${\displaystyle \chi }$ een groepshomomorfisme van de groep ${\displaystyle G}$ naar de multiplicatieve groep ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }$ van de complexe getallen.

Topologische groep

Als ${\displaystyle G}$ een topologische groep is, moet het karakter continu zijn.

Eigenschappen

• De verzameling karakters van een groep ${\displaystyle G}$ is een abelse groep met de bewerking:

${\displaystyle (\chi _{1}*\chi _{2})(g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

• Een karakter heet unitair als ${\displaystyle |\chi (g)|=1}$, dus als het beeld van ${\displaystyle G}$ op de eenheidscirkel ligt.
• Een karakter is dan en slechts dan unitair, als

${\displaystyle \chi (g^{-1})={\overline {\chi (g)}$

• Voor een eindige groep zijn alle karakters unitair, immers, als ${\displaystyle n}$ de orde van de groep is, geldt voor alle ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle (\chi (g))^{n}=\chi (g^{n})=\chi (e)=1}$

• De karakters van een groep ${\displaystyle G}$ komen overeen met de eendimensionale complexe representaties van ${\displaystyle G}$. De unitaire karakters komen overeen met de unitaire eendimensionale representaties.
• Een unitair karakter heet kwadratisch als de enige beelden –1 en +1 zijn. Is 1 het enige beeld dan heet het karakter triviaal.
• Voor een karakter ${\displaystyle \chi }$ van een eindige groep geldt:

${\displaystyle \chi }$ triviaal, dan ${\displaystyle \sum _{g\in G}\chi (g)=|G|}$.

${\displaystyle \chi }$ niet triviaal, dan ${\displaystyle \sum _{g\in G}\chi (g)=0}$.

Dirichlet-karakter

Een dirichlet-karakter is een karakter op de multiplicatieve groep ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$. Dirichlet-karakters worden gebruikt om dirichlet-L-functies te definiëren, die meromorfe functies met een verscheidenheid aan interessante analytische eigenschappen zijn. Dirichlet-karakters zijn genoemd naar Johann Dirichlet.

Algebraïsche groep

Voor een algebraïsche groep ${\displaystyle G}$ is een karakter ${\displaystyle \chi }$ een homomorfisme ${\displaystyle \chi \colon G\to G_{m}$ van ${\displaystyle G}$ naar de multiplicatieve groep ${\displaystyle G_{m}$.

Karakter van een representatie

Zie Karakter (groepsrepresentatie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een groep ${\displaystyle G}$ op de eindigdimensionale vectorruimte ${\displaystyle V}$ over het lichaam/veld ${\displaystyle K}$ is het karakter van een representatie ${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$ van ${\displaystyle G}$ de functie

${\displaystyle \chi _{\rho }\colon G\to K}$

die aan het element ${\displaystyle g}$ het spoor van ${\displaystyle \rho (g)}$ toevoegt:

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {sp} (\rho (g))}$