Barrow speelde in Gambia en werd daar gescout door Atalanta Bergamo, waar hij in 2016 in de jeugdopleiding terechtkwam. In januari 2018 werd de aanvaller door coach Gian Piero Gasperini overgeheveld naar het eerste elftal.[1] Hij maakte zijn professionele debuut op 30 januari 2018, toen met 0–1 van Juventus werd verloren in de Coppa Italia door een doelpunt van Gonzalo Higuaín. Barrow mocht van Gasperini een kwartier voor tijd invallen voor Bryan Cristante.[2] Zijn eerste doelpunt volgde in de Serie A op 18 april 2018, toen op bezoek bij Benevento werd gespeeld. Atalanta kwam via Remo Freuler op voorsprong en Barrow, die in de rust inviel voor Andrea Petagna verdubbelde de voorsprong op aangever van Marten de Roon. Uiteindelijk besliste Alejandro Gómez de eindstand op 0–3.[3] In de zomer van 2018 verlengde Barrow zijn contract tot medio 2023.[4] In januari 2020 werd hij voor anderhalf jaar verhuurd aan Bologna, met een verplichte koopoptie van veertienenhalf miljoen euro, die medio 2021 gelicht zou worden.[5] Medio 2023 nam Al-Taawoun hem voor circa acht miljoen over.[6]
Barrow maakte zijn debuut in het Gambiaans voetbalelftal op 8 september 2018, toen een kwalificatiewedstrijd voor het AK 2019 gespeeld werd tegen Algerije. Namens dat land opende Baghdad Bounedjah twee minuten na rust de score. Door een doelpunt van Assan Ceesay werd uiteindelijk met 1–1 gelijkgespeeld. Barrow moest van bondscoach Tom Saintfiet op de reservebank beginnen en hij mocht na zesenzestig minuten invallen voor de Gambiaanse doelpuntenmaker. De andere debutant bij Gambia dat duel was Ebou Adams (Leyton Orient).[8] Op 12 juni 2019, tijdens zijn vijfde interlandoptreden, kwam Barrow voor het eerst tot scoren. Op die dag werd een vriendschappelijke wedstrijd gespeeld tegen Marokko en na vierentwintig minuten tekende de aanvaller voor het enige doelpunt: 0–1.[9]