Maksimović speelde achtereenvolgens in de jeugd van FK Loznica en Rode Ster Belgrado, waarna hij ook nog een halfjaar doorbracht in de opleiding van Hellas Verona. In de zomer van 2013 maakte de middenvelder de overstap naar Domžale, waar hij direct in het eerste elftal terechtkwam.[1] Maksimović maakte zijn debuut op 18 oktober 2013, toen met 2–2 gelijkgespeeld werd op bezoek bij Zavrč. De Serviër viel twintig minuten voor het einde van de wedstrijd in.[2] In twee seizoenen tijd zou de middenvelder tot zevenentwintig competitieoptredens komen, waarin hij driemaal doel trof. In februari 2015 verkaste Maksimović naar Astana, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van tweeënhalf jaar.[3] Voor de Kazachse club maakte hij ook zijn debuut in de internationale competities Champions League en Europa League. Zijn contract verliep in de zomer van 2017 en Maksimović maakte transfervrij de overstap naar Valencia. Bij de Spaanse club zette de middenvelder zijn handtekening onder een verbintenis voor de duur van vijf seizoenen.[4] Een jaar later maakte Maksimović de overstap naar Getafe, dat circa vijf miljoen euro voor hem betaalde. De Serviër tekende bij zijn nieuwe club voor zes jaar.[5]
In november 2022 werd Maksimović door bondscoach Dragan Stojković opgenomen in de selectie van Servië voor het WK 2022.[8] Tijdens dit WK werd Servië uitgeschakeld in de groepsfase na nederlagen tegen Brazilië en Zwitserland en een gelijkspel tegen Kameroen. Maksimović kwam in alle drie duels in actie. Zijn toenmalige clubgenoot Stefan Mitrović (eveneens Servië) was ook actief op het toernooi.