Ringhomomorfisme

In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een ringhomomorfisme een functie tussen twee ringen die de operaties van optellen en vermenigvuldigen respecteert.[1]

Definitie

Een ringhomomorfisme tussen de ringen en is een afbeelding zodanig dat voor alle geldt:[2]

Als men eist dat de ringen een eenheidselement (multiplicatieve identiteit) hebben, wordt meestal als extra voorwaarde geëist dat de eenheidselementen en op elkaar worden afgebeeld:

De compositie van twee ringhomomorfismen is zelf ook een ringhomomorfisme. Hieruit volgt dat de klasse van alle ringen een categorie vormt met ringhomomorfismen als de morfismen (zie het artikel over de categorie van ringen).

Eigenschappen

Voor een ringhomomorfisme gelden de volgende eigenschappen.

  • beeldt het nulelement van af op het nulelement van :
  • Het beeld van de tegengestelde van een element is de tegengestelde van het beeld:
  • Het beeld van een eenheid is een eenheid van , en
induceert dus een homomorfisme van de eenhedengroep van naar de eenhedengroep van .
  • Het beeld is een deelring van
  • De kern is een ideaal in .
  • Als er een ringhomomrfisme bestaat, is de karakteristiek van een deler van de karakteristiek van . Deze eigenschap kan soms gebruikt worden om aan te tonen dat er geen ringhomomrfisme bestaat tussen twee gegeven ringen.
  • Als een delingsring (Ned) / lichaam (Be) is en is niet de nulring, is injectief.
  • Als en beide lichamen (Ned) / velden (Be) zijn, is het beeld een deellichaam/deelveld van en kan opgevat worden als een uitbreiding van .
  • Als en beide commutatief zijn en is een ideaal in , is het origineel van een ideaal in .
  • Als en beide commutatief zijn en is een priemideaal in , is het origineel van een priemideaal in .
  • Als en beide commutatief zijn en is surjectief, dan is het origineel van een imaximaal ideaal in een maximaal ideaal in .
  • Als en beide commutatief zijn en is een integriteitsdomein, dan is de kern een priemideaal in .
  • Als en beide commutatief zijn en is een lichaam/veld en is surjectief, dan is de kern een maximaal ideaal in .

Voorbeelden

  • De afbeelding die aan een complex getal z'n complex geconjugeerde toevoegt, is een ringhomomorfidsme.
  • De afbeelding van de gehele getallen naar de gehele getallen modulo met is een ringhomomorfidsme.

Referenties

  1. (en) Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko, Algebras, rings and modules (Algebra, ringen en modulen). Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900
  2. (en) Michiel Hazewinkel et al., Algebras, rings and modules Vol. 1, 2004. ISBN 1402026900, pag. 3.

Zie ook