Derivasjon

Derivasjon er i matematikken eitt av to sentrale emne innan differensialrekning. Det andre er integrasjon.

Den deriverte gjev den momentane endringa til ein funksjon. For reelle funksjonar av ein variabel vert denne verdien kalla for funksjonen sitt stigningstal. Stigningstalet er definert som stigninga til tangenten til funksjonen i punktet og kan estimerast ved hjelp av sekantar. Ikkje alle funksjonar er deriverbare overalt. Til dømes for ein funksjon funksjon som er diskontinuerleg eller har ein loddrett tangent i eit punkt, vil den deriverte vere udefinert for dette punktet.

Terminologi

Diskontinuerleg; ein funksjon som har eitt eller fleire verdiar der han ikkje er definert.
Kritisk punkt; eit punkt der den deriverte er lik 0.
Lokalt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane innanfor eit avgrensa definisjonsområde.
Absolutt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane, for alle definerbare verdiar. Absolutte maks/min punkt kan i mange tilfelle ikkje eksistere i det heile tatt t.d.:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x},\quad x\in (0,\infty )}$

Notasjon

Lagrange sin notasjon

For ein reell funksjon av ein variabel, ${\displaystyle \ f(x)}$, er det vanleg å skrive ${\displaystyle \ f'(x)}$, ${\displaystyle \ f''(x)}$, ${\displaystyle \ f'''(x)}$ og ${\displaystyle \ f^{(n)}(x)}$, ${\displaystyle \ n\geq 4}$, for respektive første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte.

Leibniz sin notasjon

I Leibniz sin notasjon vert symbolet ${\displaystyle {\frac {d}{dx}$ nytta for derivasjon med omsyn på ${\displaystyle \ x}$. Vi skriv då ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}$ eller ${\displaystyle {\frac {df}{dx}(x)}$ for den deriverte til ${\displaystyle \ f(x)}$. Dei høgare ordens deriverte vert skrive ${\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{(dx)^{n}$ eller ${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{(dx)^{n}(x)}$. Ideen bak denne notasjonen er at differensiala ${\displaystyle \ df}$ og ${\displaystyle \ dx}$ representerer «infinitesimale endringar» i verdiane til respektive ${\displaystyle \ f}$ og ${\displaystyle \ x}$.

Newton sin notasjon

Newton sin notasjon vert nytta innan fysikk og mekanikk, og spesielt når variabelen omhandlar tid. I denne notasjonen vert derivasjon skrive ved å sette prikkar over funksjonen. Til dømes om ${\displaystyle \ x}$ er ein funksjon av ${\displaystyle \ t}$, så er ${\displaystyle {\dot {x}$ og ${\displaystyle {\ddot {x}$ respektive den første- og andre-deriverte av ${\displaystyle \ x}$.

Euler sin notasjon

I Euler sin notasjon er ideen å tenke på derivasjon som ein operator som verkar på funksjonar. Derivasjonsoperatoren vert skrive som ${\displaystyle \ D}$, og vi skriv ${\displaystyle \ Df(x)}$, ${\displaystyle \ D^{2}f(x)}$, ${\displaystyle \ D^{3}f(x)}$ og ${\displaystyle \ D^{n}f(x)}$ for første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte. Dersom ein ønskjer å presisere at derivasjonen vert teke med omsyn på variabelen ${\displaystyle \ x}$, kan ein skrive ${\displaystyle \ D_{x}f(x)}$.

Å finne den deriverte

Ofte vil ein funksjon ${\displaystyle \ f(x)}$ vere gjeve ved ein formel, bygd opp frå kjende funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting. Derivasjonsreglane viser oss samanhengane mellom den deriverte til formelen og dei deriverte til bestanddelane. Så søker ein i lista over derivasjonsformlar for å finne dei deriverte til bestanddelane (dei kjende funksjonane som inngår i formelen).

Derivasjonsreglar

Tenk at funksjonane ${\displaystyle \ f}$ og ${\displaystyle \ g}$ er deriverbare i punktet ${\displaystyle \ x}$ og at ${\displaystyle \ c}$ er ein konstant. Då er òg ${\displaystyle \ cf}$, ${\displaystyle \ f+g}$, ${\displaystyle \ f-g}$, ${\displaystyle \ f\cdot g}$ og ${\displaystyle {\frac {f}{g}$ (føresett at ${\displaystyle \ g(x)\neq 0}$) òg deriverbare i ${\displaystyle \ x}$, og den deriverte er gjeve ved:

• ${\displaystyle \ (cf)'(x)=c\cdot f'(x)}$
• ${\displaystyle \ (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}$
• ${\displaystyle \ (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)}$
• Produktregelen: ${\displaystyle \ (f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$
• Kvotientregelen: ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}\right)'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}$

Kjerneregelen: Tenk at ${\displaystyle \ g}$ er deriverbar i ${\displaystyle \ x}$ og ${\displaystyle \ f}$ er deriverbar i ${\displaystyle \ g(x)}$. Då er den samansette funksjonen ${\displaystyle \ h=f\circ g}$ gitt ved ${\displaystyle \ h(x)=f(g(x))}$ òg deriverbar i ${\displaystyle \ x}$ og den deriverte er gjeve ved:

${\displaystyle \ h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

Den deriverte til den omvendte funksjonen: Tenk at ${\displaystyle \ f}$ er ein kontinuerleg, strengt monoton funksjon, som er deriverbar i punktet ${\displaystyle \ x}$ med ${\displaystyle \ f'(x)\neq 0}$. Då er den omvendte funksjonen ${\displaystyle \ g=f^{-1}$ deriverbar i ${\displaystyle \ y=f(x)}$ og vi har

${\displaystyle \ g'(y)={\frac {1}{f'(x)}$.

Liste over derivasjonsformlar

Generelle tilfelle

• For ein konstant ${\displaystyle \ c}$ er ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\,c=0}$.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}x=1}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}x^{2}=2x}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}x^{3}=3x^{2}$
• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}ax^{n}=nax^{n-1}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}{\frac {1}{x}=-{\frac {1}{x^{2}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}{\sqrt {x}={\frac {1}{2{\sqrt {x}$

For eksponentielle funksjonar

• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}e^{x}=e^{x}$ der ${\displaystyle \ e}$ er Eulertalet.
• ${\displaystyle {\frac {d}{\,dx}a^{x}=a^{x}\ln a}$ der ${\displaystyle \ a>0}$.

For logaritmiske funksjonar

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\ln x={\frac {1}{x}$ for ${\displaystyle \ x>0}$, her er ${\displaystyle \ \ln }$ den naturlege logaritmen.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}$ for ${\displaystyle \ x>0}$.

For trigonometriske funksjonar

• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\sin x=\cos x}$
• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\cos x=-\sin x}$
• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\tan x=\sec ^{2}x}$
• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\csc x=-\csc x\cot x}$
• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\sec x=\sec x\tan x}$
• ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}\cot x=-\csc ^{2}x}$

For omvendte trigonometriske funksjonar

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}$

For hyperbolske funksjonar

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\sinh(x)=\cosh(x)}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\cosh(x)=\sinh(x)}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\tanh(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\coth(x)=-{\frac {1}{\sinh ^{2}(x)}$

For omvendte hyperbolske funksjonar

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\operatorname {arcosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}$

Døme

Døme 1

La ${\displaystyle \ f(x)=3x^{2}-2x+1}$. Vi finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglane for sum og differanse:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d}{dx}f(x)&={\frac {d}{dx}(3x^{2}-2x+1)\\&={\frac {d}{dx}(3x^{2})-{\frac {d}{dx}(2x)+{\frac {d}{dx}1\\&=3{\frac {d}{dx}x^{2}-2{\frac {d}{dx}x+{\frac {d}{dx}1\\&=3\cdot 2x-2+0\\&=6x-2\end{matrix}$

Døme 2

La ${\displaystyle \ f(x)=\sin(x)e^{\cos(x)}$. Her må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d}{dx}f(x)&={\frac {d}{dx}(\sin(x)e^{\cos(x)})\\&=({\frac {d}{dx}\sin(x))e^{\cos(x)}+\sin(x){\frac {d}{dx}(e^{\cos(x)})\\&=\cos(x)e^{\cos(x)}+\sin(x)e^{\cos(x)}{\frac {d}{dx}(\cos(x))\\&=\cos(x)e^{\cos(x)}+\sin(x)e^{\cos(x)}(-\sin(x))\\&=(\cos(x)-\sin ^{2}(x))e^{\cos(x)}\end{matrix}$

Bruk av derivasjon i grafteikning

Derivasjon kan nyttast når ein skal teikne grafar for funksjoner, ved at det kan nyttast til å finne tangentar, ekstrempunkt og vendepunkt.

Å finne tangenten til ${\displaystyle \ f(x)}$ i eit punkt

Om ${\displaystyle \ f}$ er deriverbar i ${\displaystyle \ x=a}$, så er likninga for tangenten til ${\displaystyle \ f}$ i ${\displaystyle \ a}$ gjeve ved:

${\displaystyle \ y=f'(a)(x-a)+f(a)}$.

Ekstremalpunkt

Kandidatar til minimums- og maksimumspunkt er dei ${\displaystyle \ x}$ der ${\displaystyle \ f'(x)=0}$.

Vendepunkt

Kandidatar til vendepunkt er dei ${\displaystyle \ x}$ der ${\displaystyle \ f''(x)=0}$.

Krumming

Grafen til ${\displaystyle \ f}$ krummar oppover når ${\displaystyle \ f''(x)>0}$, og grafen krummar nedover når ${\displaystyle \ f''(x)<0}$.

Teori for derivasjon

Definisjon

Hovudideen bak definisjonen av den deriverte er at ${\displaystyle f'(x_{0})}$ er stigningstalet til tangenten til grafen av ${\displaystyle f}$ i punktet ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$, og at sekanten gjennom punkta ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ og ${\displaystyle (x_{0}+\Delta x,f(x_{0}+\Delta x))}$ er ei god tilnærming til denne tangenten når ${\displaystyle \Delta x}$ går mot ${\displaystyle 0}$. Stigningstallet til sekanten er gjeve ved:

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

og vi definerer den deriverte av ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle x_{0}$ til å vere grenseverdien

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

dersom denne grenseverdien eksisterer, og vi skriv då ${\displaystyle f'(x_{0})}$ for dette talet. Om grenseverdien ikkje eksisterer er funksjonen ${\displaystyle f}$ ikkje deriverbar i ${\displaystyle x_{0}$.

Deriverbar funksjon

Ein funksjon ${\displaystyle f}$ vert kalla deriverbar i punktet ${\displaystyle x_{0}$ dersom ${\displaystyle f'(x_{0})}$ eksisterer. Ein funksjon vert kalla deriverbar dersom han er deriverbar i alle punkt i definisjonsmengden. Ein funksjon ${\displaystyle f}$ vert kalla ${\displaystyle C^{1}$ dersom den deriverte ${\displaystyle f'}$ er ein kontinuerleg funksjon.

Middelverdisetninga

Dersom ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ er ein kontinuerleg funksjon, og deriverbar på det opne intervallet ${\displaystyle \left(a,b\right)}$, så finst eit punkt ${\displaystyle c}$ mellom ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ slik at:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}$.

Bakgrunnsstoff

• Funksjonskalkulator
• Derivasjon av funksjonar av fleire variable^{[daud lenkje]}

Kjelder