Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)
Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.
Avledning
Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:
.
Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:
Oversikt
Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen
endres til et av formen
Legg merke til at koeffisientenea, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.
Vanlig formel
For
har vi
eller
Eksempler
Eksempel 1
Et meget enkelt eksempel er:
Eksempel 2
Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:
* kvadratkompletteringen
Eksempel 3
Si at man vil finne løsningen av ligningen . Man kan da anvende kvadratkomplettering:
Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er
.
Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:
.
Dermed er integralet
.
Eksempel 5
Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av
finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:
* kvadratkomplettering
Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)
Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen
ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:
.
hvorav
Komplekse versjoner av kvadratkomplettering
Betrakt uttrykket
der og er komplekse tall, og er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis og , og er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:
som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi
På samme måte kan uttrykket
der , , , og er reelle tall og samt , uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres
slik
, noe som gir
Bruk
Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:
Denne ulikheten viser at den minste verdien antas ettersom tallet x er lik tallet .
Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel: