Målrom

Et målrom er en trippel av en mengde, en σ-algebra og et ikke-negativt mål på de ulike delmengdene gitt ved σ-algebraen. Mengden kan for eksempel være de reelle tallene. σ-algebra gir en måte å dele opp disse i ulike delmengder, for eksempel intervaller. ${\displaystyle \mu }$ er en måte å tilordne et mål på hver delmengde i σ-algebraen, for eksempel lengden av hvert intervall.

Målrom et basiskonsept innen målteori, og generaliserer konsepter som lengde, areal og volum fra euklidsk geometri.

Definisjon

En mengde er innen matematikk en veldefinert samling av objekter. En σ-algebra er videre en familie ${\displaystyle {\mathcal {A}$ av delmengder i en gitt mengde ${\displaystyle \Omega }$ slik at^[1]

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}$ er ikke tom.
2. Lukket under komplement: Hvis ${\displaystyle A}$ er med i ${\displaystyle {\mathcal {A}$ så er komplementet ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A}$ også være med i ${\displaystyle {\mathcal {A}$
   
3. Lukket under tellbare unioner: Hvis ${\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }$ er en samling av mengder i ${\displaystyle {\mathcal {A}$ er også unionen ${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ med i ${\displaystyle {\mathcal {A}$

og et mål ${\displaystyle {\mathcal {A}$ på er en utvidet reell funksjon slik at

1. ${\displaystyle \mu (A)\geq 0}$ for alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}$
2. ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
3. Dersom ${\displaystyle A_{1},A_{2},...}$ er en følge av parvis disjunkte delmengder av ${\displaystyle {\mathcal {A}$, altså slik at ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ for ${\displaystyle i\neq j}$, så er

   ${\displaystyle \mu {\Big (}\cup _{n}A_{n}{\Big )}=\sum _{n}\mu (A_{n})}$.^[2]

En trippel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A},\mu )}$ kalles for et målrom.

Egenskaper

Et målrom sies å være komplett dersom alle delmengder av alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}$ med mål 0 også er i ${\displaystyle {\mathcal {A}$; altså dersom ${\displaystyle A\in {\mathcal {A},\mu (A)=0}$ og ${\displaystyle B\subset A}$, så er ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}$. Ethvert målrom kan alltid utvides til et komplett målrom.^[3]

Eksempel

La ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}$, og ${\displaystyle {\mathcal {A}$ potensmengden til ${\displaystyle \Omega }$, altså

${\displaystyle {\mathcal {A}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$.

Definer ${\textstyle \mu }$ til å være

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2};\qquad \mu (\emptyset )=0;\qquad \mu (\Omega )=1}$

Trippelen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A},\mu )}$ er et målrom, og mer nøyaktig et sannsynlighetsrom, siden ${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$.

Referanser

Litteratur

• John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1.