Dopełnienie algebraiczne
Dopełnienie algebraiczne – dopełnienie algebraiczne elementu
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}
danej macierzy kwadratowej
A
{\displaystyle A}
stopnia
n
{\displaystyle n}
jest to iloczyn
(
−
1
)
i
+
j
{\displaystyle (-1)^{i+j}
oraz minora
M
i
j
,
{\displaystyle M_{ij},}
czyli wyznacznika podmacierzy stopnia
n
−
1
{\displaystyle n-1}
powstałego z usunięcia
i
{\displaystyle i}
-tego wiersza oraz
j
{\displaystyle j}
-ej kolumny macierzy
A
.
{\displaystyle A.}
Dopełnienie algebraiczne elementu
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}
macierzy
A
{\displaystyle A}
oznacza się często symbolem
A
i
j
{\displaystyle A_{ij}
[1] , a macierz
[
A
11
A
12
⋯
A
1
n
A
21
A
22
⋯
A
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
A
n
2
⋯
A
n
n
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix},}
złożoną z dopełnień algebraicznych (oznaczaną
[
A
i
j
]
{\displaystyle [A_{ij}]}
), nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy
A
.
{\displaystyle A.}
Przykład
Dana jest macierz:
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
=
[
1
−
2
0
3
0
1
−
1
1
−
3
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&-2&0\\3&0&1\\-1&1&-3\end{bmatrix}
Dopełnienia algebraiczne elementów
a
11
{\displaystyle a_{11}
oraz
a
23
{\displaystyle a_{23}
tej macierzy wynoszą, odpowiednio:
A
1
1
=
(
−
1
)
1
+
1
⋅
|
0
1
1
−
3
|
=
−
1
{\displaystyle A_{\color {red}1}{\color {blue}1}=(-1)^{\color {red}1}+{\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&-3\end{vmatrix}=-1}
A
2
3
=
(
−
1
)
2
+
3
⋅
|
1
−
2
−
1
1
|
=
1
{\displaystyle A_{\color {OliveGreen}2}{\color {Brown}3}=(-1)^{\color {OliveGreen}2}+{\color {Brown}3}\cdot {\begin{vmatrix}1&-2\\-1&1\end{vmatrix}=1}
Zobacz też
Przypisy
Linki zewnętrzne
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Cofactor , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .
Niektóre typy macierzy Cechy niezależne od bazy
Cechy zależne od bazy
Operacje na macierzach jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki Inne pojęcia
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd