Salsano wychował się w drużynie Empoli FC. W 1981 roku zadebiutował w niej w Serie C1, ale już rok później przeszedł do AC Parma. W zespole Parmy zawodnik także występował w Serie C1, a w 1984 roku awansował do Serie B. Następnie po sezonie zmienił barwy klubowe i w końcu trafił do Serie A, do drużyny Sampdorii. W Sampdorii od początku grał w wyjściowej jedenastce jako środkowy pomocnik. W pierwszym sezonie zajął 4. miejsce w lidze oraz wywalczył swój pierwszy w karierze Puchar Włoch. W 1986 roku znów dotarł z Sampdorią do finału, jednak tym razem genueńczycy przegrali w dwumeczu z Romą. W 1988 i 1989 roku Fausto zdobywał kolejne krajowe puchary.
Latem 1990 Salsano został zawodnikiem Romy. W Romie występował na pozycji defensywnego pomocnika obok Fabrizio Di Mauro. W pierwszym sezonie wywalczył swój czwarty w karierze Puchar Włoch oraz dotarł do finału Pucharu UEFA (wystąpił w pierwszym meczu z Interem Mediolan). W 1993 roku wystąpił z „giallorossimi” w finale Coppa Italia (0:3 i 5:2 z Torino Calcio). Latem zawodnik wrócił do Sampdorii. W 1994 roku zdobył Puchar Włoch i był to jego ostatni wielki sukces w karierze. W klubie z Genui grał do końca sezonu 1997/1998. Wtedy przeszedł do grającej w Serie C2Spezii Calcio. Tam grał przez 2 lata i w 2000 roku w wieku 38 lat zakończył piłkarską karierę.
